element przeciwny w przestrzeni wektorowej

[Karolina93]

Jak sprawdzić z definicji czy istnieje element przeciwny działania \(\displaystyle{ +}\), \(\displaystyle{ a+b=ab}\) . Chodzi mi o przestrzeń wektorową.
W definicji jest napisane tak:
\(\displaystyle{ \vec{w} + (-\vec{w}) = \vec{0}}\)

Proszę o pomoc.

[szw1710]

Typuje się kandydata na wektor przeciwny. Np. jeśli \(\displaystyle{ X=C([0,1])}\) i wektorami są funkcje (działania wykonuje się standardowo na argumentach), to \(\displaystyle{ (-f)(x)=-f(x)}\). I już.

[Karolina93]

No więc w moim przypadku jak to będzie wyglądało ? Mam znaleźć taki wektor przeciwny, który da nam wektor zerowy ? Wektor zerowy to liczba 0 ?

[szw1710]

A co tam było elementem zerowym? Element zerowy spełnia zależność \(\displaystyle{ a+0=a}\) dla każdego \(\displaystyle{ a}\). No więc \(\displaystyle{ a\cdot 0=a}\) dla każdego \(\displaystyle{ a}\). W szczególności \(\displaystyle{ 1\cdot 0=1}\), więc \(\displaystyle{ 0=1}\) i elementem zerowym tego działąnia jest jedynka To oczywiste, bo to mnożenie. Nie myl symbolu \(\displaystyle{ 0}\) z liczbą \(\displaystyle{ 0}\)!!!

No więc co tu jest elementem przeciwnym? Pomyśl chwileczkę. Odpowiedź jest równie zadziwiająca jak dla samego elementu zerowego.

[Karolina93]

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) ?

[szw1710]

Tak. Dla \(\displaystyle{ a\ne 0}\) (tutaj \(\displaystyle{ 0}\) oznacza liczbę zero). Nie pamiętam, czy to "nowoczesne" dodawanie było definiowane na liczbach niezerowych, czy dla zera też.

[Karolina93]

Dzięki .Dlaczego to się nazywa element przeciwny ? Jeżeli mamy działanie zdefiniowane mnożeniem to nie powinno się na to mówić element odwrotny a generalnie element symetryczny ?

[szw1710]

Nie. Tu mnożenie występuje w roli dodawania. To terminologia i nic więcej. Ale w przestrzeni liniowej dodawanie jest działaniem grupowym. A zatem skoro ma to być mnożenie, musi być określone na liczbach niezerowych.

Mnożenie spełnia inną rolę. Występuje w pierścieniu bądź w ciele. Ale na ogół nie w przestrzeni liniowej. Jak się mnoży wektory? Owszem, da się to robić, ale to już inna bajka. W każdym razie "zwykłe mnożenie" to atrybut pierścienia bądź ciała. A więc w przestrzeni liniowej robi się to albo na samych skalarach, albo na skalarze i wektorze (mnożenie wektora przez skalar).

[Karolina93]

Dziękuje. Pozdrawiam.