wyznaczyć przekształcenie liniowe

[matematyczka222]

Witam, mam problem z zadankiem:

Wyznaczyć przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ T: R^{2} \rightarrow R^{2} \mbox{ gdzie } T(1,3)=(1,1) \ \ T(1,1)=(0,1).}\)

Wyznaczyć\(\displaystyle{ T(-1,3).}\)

Niestety nie wiem jakie kroki po kolei podjąć.

[Grypho]

Mamy
\(\displaystyle{ T(1,3)=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ T(1,1)=(0,1)}\)

Szukamy macierzy odwzorowania przekształcającej wektory

\(\displaystyle{ (1,3)X=(1,1)}\)
\(\displaystyle{ (1,1)X=(0,1)}\)

Układamy z tych zależności macierz, rozwiązujemy równanie macierzowe, dostajemy macierz przekształcenia.
Jak dostaniesz macierz przekształcenia to ją tu podaj.

[matematyczka222]

hmm chyba nie o to chodziło, bo ja wyznaczyłam macierz i wyszła \(\displaystyle{ 2\times 2}\) a w odp jest \(\displaystyle{ (2,-1)}\)

[Marcinek665]

Jeśli boisz się macierzy, to możesz się powołać na fakt, że przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) jest postaci

\(\displaystyle{ T(x,y) = (ax+by, cx+dy)}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (x,y)=(1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,1)}\), dostajemy układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+3b=1 \\ c+3d=1 \\ a+b=0 \\ c+d=1 \end{cases}}\)

Gdy wyliczysz \(\displaystyle{ a,b,c,d,}\) to dostaniesz już wzór na przekształcenie liniowe. By obliczyć \(\displaystyle{ T(-1,3)}\), wystarczy już wtedy podstawienie.

[Vardamir]

hmm chyba nie o to chodziło, bo ja wyznaczyłam macierz i wyszła \(\displaystyle{ 2\times 2}\) a w odp jest \(\displaystyle{ (2,-1)}\)

I dobrze, że wyszła macierz. Przekształcenie będzie zadane macierzą. Natomiast w odpowiedziach jest obraz wektora który masz znaleźć.

[matematyczka222]

czyli musialam popełnic błąd w obliczeniach?

[Vardamir]

czyli musialam popełnic błąd w obliczeniach?

Pokaż jaka wyszła Ci macierz.

[Grypho]

Najpewniej tak. Mogłaś np źle rozwiązać równanie macierzowe.
Macierz przekształcenia wychodzi

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
- \frac{1}{2}&1\\
\frac{1}{2}&0
\end{array}\right]}\)

[Vardamir]

Najpewniej tak. Mogłaś np źle rozwiązać równanie macierzowe.
Macierz przekształcenia wychodzi

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
- \frac{1}{2}&1\\
\frac{1}{2}&0
\end{array}\right]}\)

Raczej wychodzi taka:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}
- \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\
1&0
\end{array}\right]}\)
Obrazy wersorów zapisujemy w kolumnach.

[matematyczka222]

tak też mi wyszła, ale czy wtedy odwzorowanie nie jest dane wzorem \(\displaystyle{ ()-1/2x,y),1/2x)}\)? nie rozumiem skąd to 2,-1

[Grypho]

Hm ciekawe, moja macierz przy T(x,y) dała również właściwe odwzorowanie...
Musisz znaleźć odwzorowanie, a później podstawić do niego \(\displaystyle{ (-1,3)}\). Wyjdzie ci \(\displaystyle{ (2,-1)}\)

[Vardamir]

Koszmary zapis, nawet nie wiem jak to poprawić. Korzystaj z opcji podgląd przed wysłaniem wiadomości.

Odnośnie zadania, nie potrzeba wyliczać przekształcenia jeśli mamy macierz. Wystarczy nałożyć macierz na wektor, czyli:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} - \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} -1\\ 3 \end{array}\right]}\)

Natomiast aby otrzymać wzory na przekształcenie rozwiązujemy coś takiego:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c} x'\\ y' \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} - \frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right]}\)

[Grypho]

Hm, ja mnożyłem moją macierz przez \(\displaystyle{ (-1,3)}\) z lewej strony, może dlatego wychodziło dobrze? Macierz otrzymałem przez rozwiązanie równania, mnożąc lewostronnie każdą stronę równości.

[matematyczka222]

a w sytuacji gdy mam przejsć z \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R^{3}}\) wychodzi mi macierz \(\displaystyle{ 2\times 3}\) a mam wyznaczyć \(\displaystyle{ T(2,1)}\) czego wymnożyć już nie mogę

[Vardamir]

Hm, ja mnożyłem moją macierz przez \(\displaystyle{ (-1,3)}\) z lewej strony, może dlatego wychodziło dobrze? Macierz otrzymałem przez rozwiązanie równania, mnożąc lewostronnie każdą stronę równości.

Zazwyczaj wektory zapisujemy pionowo, wtedy nakładając macierz wektor domnażamy z lewej strony.

a w sytuacji gdy mam przejsć z \(\displaystyle{ R^{2} \rightarrow R^{3}}\) wychodzi mi macierz \(\displaystyle{ 2\times 3}\) a mam wyznaczyć \(\displaystyle{ T(2,1)}\) czego wymnożyć już nie mogę

Bo powinna wyjść \(\displaystyle{ 3\times 2}\).