baza przestrzeni wektorowej

[kameleon99]

Znalesc baze przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3/ P}\) gdzie \(\displaystyle{ P= lin\left\{ (1,2,1)\right\}}\)
oraz obliczyc wspolrzedne wektora \(\displaystyle{ [(3,2,1)]}\) w tej bazie.

Prosiłbym o jakies wskazowki jak to zrobic.
Nie wiem jak wyznaczyc ta baze.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \mathbb{R}^3/P \cong P^\perp}\). Wystarczy więc zgadnąć dwa liniowo niezależne wektory, prostopadłe do \(\displaystyle{ (1,2,1)}\). Na przykład mogą to być \(\displaystyle{ (1,-1,1)}\) oraz \(\displaystyle{ (-1,0,-1)}\). Z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie wynika, że

\(\displaystyle{ \{[(1,-1,1)], [(-1,0,-1)]\}}\)

jest bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3/P}\).