Macierz przekształcenia liniowego

[lalka011]

\(\displaystyle{ \Phi : () ^{3} \rightarrow () ^{3}, \Phi (1,0,0)=(-2,2,-2), \Phi (0,1,0)=(0,2,4), \Phi (0,0,1)=(-2,0,6)}\) Podaj macierz przekształcenia liniowego w bazie \(\displaystyle{ (E _{1},E _{2}, E _{3})}\). Wyznacz jądro i obraz \(\displaystyle{ \Phi}\). Napisz równanie \(\displaystyle{ im\Phi}\), jeśli okaże się, że \(\displaystyle{ dim im\Phi=-2}\).

Wektory \(\displaystyle{ E_{1}, E_{2}, E_{3}}\) to odpowiednio \(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\), czyli macierz będzie wyglądała po prostu:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-2&0&-2\\2&2&0\\-2&4&6\end{array}\right]}\) ?

Jak wyznaczyć jądro i o co chodzi z tym ujemnym wymiarem obrazu?
Proszę o pomoc

[bartek118]

Nie ma czegoś takiego jak ujemny wymiar. Z definicji wymiar jest \(\displaystyle{ \geq 0}\).

Jądro to przeciwobraz \(\displaystyle{ 0}\).

[Grypho]

Jądro to z definicji takie wektory na które, działając odwzorowaniem, otrzymujemy wektor zerowy.
\(\displaystyle{ A:U \rightarrow V}\)
\(\displaystyle{ ker A=\{x \in U: A(x)=0\}}\)

[lalka011]

to czemu w treści zadania jest mowa o \(\displaystyle{ dim im=-2}\)?

[bartek118]

Błąd.

[lalka011]

czy dobrze to robię?
\(\displaystyle{ \Phi=(-2x-2z, 2x+2y, -2x+4y+6z)
ker\Phi:(-2x-2z,2x+2y,-2x+4y+6z)=(0,0,0)
\begin{cases} -2x-2z=0 \\ 2x+2y=0 \\ -2x+4y+6z=0 \end{cases}
\left[\begin{array}{ccc}-2&0&-2\\2&2&0\\-2&4&6\end{array}\right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&2&0\\-2&4&6\end{array}\right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&2&-2\\0&4&8\end{array}\right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&-1\\0&4&8\end{array}\right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&12\end{array}\right] \Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{cases}}\)

zatem \(\displaystyle{ dimker\Phi=0}\)

wtedy \(\displaystyle{ dimim\Phi=3
\Phi(1,0,0)=(-2,2,-2)
\Phi(0,1,0)=(0,2,4)
\Phi(0,0,1)=(-2,0,6)
im\Phi=lin((-2,2,-2),(0,2,4),(-2,0,6))=() ^{3}}\)

[bartek118]

Popraw zapis, bo nic z tego nie rozumiem....

[lalka011]

w każdej macierzy powinna być kreska i rząd wyrazów wolnych - same zera, ale nie umiem tego wstawić w Latexie