Macierz odwzorowania

[Dexous]

Mam problem ze zrozumieniem takiego zadanie
zad
Niech \(\displaystyle{ f: R^3 \rightarrow R^3, f(x,y,z) = (x-y,y-z,z-x)}\)
\(\displaystyle{ B1 = (u1,u2,u3)}\)
\(\displaystyle{ B2 = (v1,v2,v3)}\)
\(\displaystyle{ u1 = v1 = (1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ u2 = v2 = (1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ u3 = v3 = (1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ B}\) - baza standardowa

W poprzednich podpunktach wyznaczylem macierz tego odwzorowania i wyglada tak :
\(\displaystyle{ M_f(B1,B2) = \begin{bmatrix} 1&-1&0\\1&2&0\\-1&-1&0\end{bmatrix}}\)
i mam znalezc obraz wektora \(\displaystyle{ v = (0,-1,-2)}\) wykorzystujac ta macierz co podalem wyzej

Ja to robilem tak ze
Wzielem ten wektor i wyznaczylem wartosc na nim czyli
\(\displaystyle{ f(0,-1,-2) = (1,1,-2)}\)
nastepnie ta wartosci zapisalem jako kombinacja wektorow z bazy B1
\(\displaystyle{ (1,1,-2) = A(1,0,0)+B(1,1,0)+C(1,1,1)}\)
Po wyliczeniu dostalem ze \(\displaystyle{ A = 0, B = 3, C = -2}\)
wiec wektor ten ma wspolrzedne w Bazie B1 \(\displaystyle{ [0,3,-2]}\)
Nastepnie te wspolrzedne pomnozylem przez macierz odwzorowania i dostalem wspolrzedne w bazie B2 \(\displaystyle{ [-3,6,-3]}\)
Na koniec wyznaczylem wartosc na tym wektorze czyli \(\displaystyle{ -3(1,0,0) + 6(1,1,0) -3(1,1,1) = (0,3,-3)}\)
Co sie kompletnie nie zgadza z tym co mam w notatkach z uczelni:

Tam bylo tak :
Wyznaczylismy wartosc wektora \(\displaystyle{ f(0,-1,-2) = (1,1,-2)}\)
Nastepnie pomnozylismy ta wartosc przez macierz \(\displaystyle{ M_f(B1,B2) = \begin{bmatrix} 1&-1&0\\1&2&0\\-1&-1&0\end{bmatrix}}\) otrzymujac \(\displaystyle{ [0,3,-2 ]}\)
i zapisalismy to jakos kombinacje z bazy B2 otrzymujac wynik \(\displaystyle{ (1,1,-2)}\)
Jak powinno wygladac rozwiazanie tego zadania ?

[Grypho]

Na uczelni robiliście dobrze.
Zauważ że twoje bazy( chyba że źle jest przepisane) są takie same, i jeśli wyredukujesz je eliminacją Gaussa to sprowadzają się do macierzy jednostkowej, czyli masz bazy standardowe, więc w zasadzie wystarczyłoby tylko wyznaczyć wartość wektora i udowodnić że te bazy tworzą macierz jednostkową.