Wymiar i jądro przekształcenia liniowego

[laryzbyszko]

Witam,

Mam problem z poniższych zadaniem. Próbowałem je robić algorytmem podanym tutaj: 11182.htm , ale nic mi nie idzie. Prosiłbym nie o gotową odpowiedź, a raczej wytłumaczenie jak się tego typu zadania robi, bo nigdzie nie mogę tego znaleźć. Bardzo dziękuję za pomoc. Treść:
Wyznacz \(\displaystyle{ dim Ker \phi}\) oraz \(\displaystyle{ dim Im \phi}\) przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi:R ^{3} \rightarrow R _{1}[x], \phi((a,b,c)) = (a+b)x}\) i podaj któryś z wektorów należących do jądra tego przekształcenia.

[omicron]

\(\displaystyle{ Ker \phi = span\left\{(1,-1,0),(0,0,1)\right\}}\)

bo

\(\displaystyle{ z=(a,b,c)}\)
\(\displaystyle{ \phi(z)=0 \Leftrightarrow a=-b \wedge c \in \mathbb{R}}\)

Widać, że obrazem odwzorowania są wszystkie funkcje postaci \(\displaystyle{ f(x)=kx,k \in \mathbb{R}}\)

Jeśli chodzi o ogólną metodę znajdowania jądra, to odwzorowanie przyrównuje się do zera i szuka"miejsc zerowych" czy to w postaci wzoru, czy macierzowej.

Jeśli teraz szukamy tylko wymiarów tych przestrzeni to warto zapamiętać dla odwzorowania:

\(\displaystyle{ F:X \rightarrow Y}\)

\(\displaystyle{ dimX=dimKerF+dimImF}\)

oraz

\(\displaystyle{ dimImF=rankA}\)

gdzie A to macierz odwzorowania F

[laryzbyszko]

Czyli w tym moim przykładzie \(\displaystyle{ dimKer\phi = 2}\), a \(\displaystyle{ dimIm\phi = 1}\)? Co zresztą zgadza się z Tą zależnością między wymiarami, którą przedstawiłeś. Dobrze myślę?

[omicron]

Jak najbardziej.