baza przestrzeni wektorowej

matematyczka222 · Post autor: **matematyczka222** » 25 sty 2013, o 22:32

Witam, mam problem z zadankiem: Znajdź bazę przestrzeni generwowanej przez wektory:
\(\displaystyle{ x _{1} (1,3,2,1), x _{2}(4,9,5,4), x _{3}(3,7,4,3)}\)

Potrafię robic zadania z poszukiwaniem wartości wektorów danej bazy, ale za to nie wiem jak się zabrać, proszę o pomoc!

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 sty 2013, o 23:33

Jeśli wektory generujące są liniowo niezależne, to są jednocześnie bazą przestrzeni, którą generują. Tak jest przynajmniej w skończonym wymiarze.

Grypho · Post autor: **Grypho** » 26 sty 2013, o 00:10

Czyli wystarczy dowieść liniowej niezależności wektorów, a w razie potrzeby wykreślić jeden z nich i mamy bazę?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 sty 2013, o 00:23

Tak.

Układ \(\displaystyle{ n}\) wektorów wygeneruje przestrzeń \(\displaystyle{ n}\) wymiarową, gdy jest układem liniowo niezależnym. W przeciwnym wypadku wymiar się zmniejszy, a bazą będzie dowolny największy podukład liniowo niezależny.

matematyczka222 · Post autor: **matematyczka222** » 26 sty 2013, o 00:29

ale powstaje mi macierz 4x3 i jak mam z nia sobie poradzic?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 sty 2013, o 09:52

Rząd macierzy jest równy maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy = maksymalnej liczbie liniowo niezależnych kolumn.

Co z tego, że macierz kwadratowa nie jest? Ja nie widzę w tym żadnego problemu.

omicron · Post autor: **omicron** » 26 sty 2013, o 12:01

Rząd macierzy jest równy wymiarowi największego niezerowego minora. Znajdź taki.

matematyczka222 · Post autor: **matematyczka222** » 26 sty 2013, o 13:41

czyli mam wziąć macierz z tego 3x3 i po prostu policzyć jej rząd?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 26 sty 2013, o 13:45

A wiesz co to jest minor macierzy?

Jeśli tak, masz sprawdzić, czy jakikolwiek minor rzędu trzeciego jest niezerowy.

matematyczka222 · Post autor: **matematyczka222** » 26 sty 2013, o 13:54

tak, wiem:) czyli otrzymam kilka kombinacji macierzy 3x3 i jeżeli ich wyznaczniki będą różne od zera to bazą będzie ta macierz?

omicron · Post autor: **omicron** » 26 sty 2013, o 14:32

Jeśli wyznacznik choć jednego minora 3x3 różny będzie od zera to wyjściowe wektory są liniowo niezależne i generują pewną przestrzeń 3-wymiarową.

matematyczka222 · Post autor: **matematyczka222** » 26 sty 2013, o 14:41

Dziękuję, udało się;) a czy mogę prosić jeszcze o pomoc w tym temacie: 324627.htm#p5047825 ?