dowolne bazy i wymiar

[kameleon99]

Mam problem z takim zadaniem:

Znalesc dowolne bazy i obliczyc wymiary \(\displaystyle{ P,Q, P \cap Q, P+Q}\) gdzie
\(\displaystyle{ P= \left\{ (x,y,z) \in \RR^3 :x+y-z=0 \right\}}\)oraz \(\displaystyle{ Q =\left\{ (x,y,z) \in \RR^3 : x-3y+z=0 \right\}}\)
jak sie za to zabrac?

[acmilan]

Najpierw \(\displaystyle{ P}\):
\(\displaystyle{ z=x+y}\) --> czyli \(\displaystyle{ z}\) jest zmienną zależną od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\);
\(\displaystyle{ x=1 \wedge y=0 \rightarrow z=1 \rightarrow (1,0,1)}\)
\(\displaystyle{ x=0 \wedge y=1 \rightarrow z=1 \rightarrow (0,1,1)}\)

Te dwa wektory tworzą bazę \(\displaystyle{ P}\), czyli jej wymiar to 2.

Tak samo robisz z \(\displaystyle{ Q}\). Też powinny być dwa wektory.

Żeby policzyć \(\displaystyle{ P \cap Q}\) piszesz wszystkie 4 wektory w macierzy i patrzysz ile jest wśród nich niezależnych.

Żeby policzyć \(\displaystyle{ P+Q}\) piszesz te dwa równania które masz jako układ, upraszczasz i robisz tak jak na początku zrobiłem. Wymiar powinien być 1.

[kameleon99]

\(\displaystyle{ Q}\)

\(\displaystyle{ z=3y-x}\)
\(\displaystyle{ (x,y,3y-x)}\)
\(\displaystyle{ x(1,0,-1); y(0,1,3)}\)
\(\displaystyle{ lin=\left\{(1,0,-1);(0,1,3) \right\}}\)
\(\displaystyle{ dim=2}\)

\(\displaystyle{ P \cap Q}\)
wsadziłem w macierz wyszedl mi minor 3 stopnia wiec \(\displaystyle{ dim=3}\)
\(\displaystyle{ lin =\left\{ (1,0,1);(0,1,1);(1,0,-1)\right\}}\)

\(\displaystyle{ P+ Q}\)
I tutaj mam problem wzialem
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y-z=0 \\ x-3y+z=0 \end{cases}}\)

Dodalem stronami i mam \(\displaystyle{ x=y}\)

no i nie mam co za \(\displaystyle{ z}\) podstawic nie wiem jak z tego wybrnac

[acmilan]

\(\displaystyle{ x}\) zależy od \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ z}\) jest dowolne czyli tu masz wektory
\(\displaystyle{ (1,1,0)}\) i \(\displaystyle{ (0,0,1)}\). Czyli wymiar jest dwa (pomyliłem się)

Reszta ok, tylko odwrotnie \(\displaystyle{ P \cap Q}\) z \(\displaystyle{ P+Q}\) - to co liczysz jako \(\displaystyle{ P \cap Q}\) jest w rzeczywistości \(\displaystyle{ P + Q}\) i vice versa.

[kameleon99]

dzieki wielki za pomoc