Sprawdz. czy podane zbiory stanowia podprz. przestrzeni R3

[Aegon]

Witam,

Mam mały kłopot z tym oto zadaniem:

Sprawdź, czy podane zbiory stanowią podprzestrzenie liniowe przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\):

\(\displaystyle{ V={(x,y,z) \in R^{3}: 3x-2y-z=0}}\)

\(\displaystyle{ W={(x,y,z) \in R^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}\)

Jako, że niestety na ćwiczeniach nie zdążyliśmy przerobić jeszcze ani jednego zadania z przestrzeni liniowych to niestety w tego typu zadaniach jestem zupełnie zielony. Oczywiście przeszukałem internet w poszukiwaniu podobnych zadań, lecz jedynie co znalazłem to dwa suche warunki, które jak na razie nic mi nie mówią:

\(\displaystyle{ 1.\bigwedge\limits_{x_1,x_2;y_1,y_2\in A} x_1,y_1+x_2,y_2 \in A \\
\\
\\
2. \bigwedge\limits_{\alpha \in R} \alpha xy \in A}\)

Będę wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki!

Pozdrawiam.

[MichalPWr]

Aegon, Jakie, suche, jakie suche. To kwintesencja tego zagadnienia.

Zbiór \(\displaystyle{ W \subset C}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ \vec{\omega _{1}},\vec{\omega _{2}},\vec{\omega _{3}} \in W}\)
oraz dla dowolnych licz \(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{2} \in R \ \ \omega _{1}} \cdot \alpha _{1}+ \omega _{2}} \cdot \alpha _{2}+ \omega _{3}} \cdot \alpha _{3} \in W}\)

\(\displaystyle{ V=(x,y,z) \in R^{3}: 3x-2y-z=0 \ \Rightarrow \ z=3x-2y}\)

\(\displaystyle{ \vec{\omega _{1}}=\left( x _{1} \ ; \ y _{1} \ ; \ z _{1}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{\omega _{2}}=\left( x _{2} \ ; \ y _{2} \ ; \ z_{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{\omega _{3}}=\left( x _{3} \ ; \ y _{3} \ ; \ z _{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \omega _{1}} \cdot \alpha _{1}+ \omega _{2}} \cdot \alpha _{2}+ \omega _{3}} \cdot \alpha _{3} =\left( x _{1} \alpha _{1} +x _{2} \alpha _{2}+x _{3} \alpha _{3} \ ; \ y _{1} \alpha _{1} +y _{2} \alpha _{2}+y _{3} \alpha _{3} \ ; \ z _{1}\alpha _{1}+z_{2}\alpha _{2}+z _{3}\alpha _{3}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =\left( x \ ; \ y \ ; \ z \right)}\)


\(\displaystyle{ 3\left( x _{1} \alpha _{1} +x _{2} \alpha _{2}+x _{3} \alpha _{3} \right)-2\left( y _{1} \alpha _{1} +y _{2} \alpha _{2}+y _{3} \alpha _{3}\right)=}\)

\(\displaystyle{ =3x _{1} \alpha _{1} -2y _{1} \alpha _{1} +3x _{2} \alpha _{2}-y _{2} \alpha _{2} +3x _{3} \alpha _{3} -2y _{3} \alpha _{3}=z _{1}\alpha _{1}+z_{2}\alpha _{2}+z _{3}\alpha _{3}}\)

[Aegon]

Cześć!

Bardzo Ci dziękuję za odpowiedź.

Mam jeszcze kilka pytań.. I z góry przepraszam, jeśli brzmią banalnie, ale w tym dziale jestem prawdziwym laikiem.

1. Czy liczba wektorów \(\displaystyle{ w}\) jest uzależniona od wymiaru przestrzeni? Teoretycznie dowód dałoby się przeprowadzić na dwóch, lecz nie wiem czy liczba ta nie jest narzucona.

2. W Twoim rozwiązaniu zaczynasz od drugiego warunku. Rozumiem, że pierwszy przeprowadziłeś w pamięci?

3. Próbowałem rozwiązać podpunkcik b), lecz niestety szybko utknąłem:

\(\displaystyle{ W={(x,y,z) \in R^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}\)

\(\displaystyle{ \vec{\omega _{1}}=\left( x _{1} \ ; \ y _{1} \ ; \ z _{1}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{\omega _{2}}=\left( x _{2} \ ; \ y _{2} \ ; \ z _{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{\omega _{3}}=\left( x _{3} \ ; \ y _{3} \ ; \ z _{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \omega _{1}} \cdot \alpha _{1}+ \omega _{2}} \cdot \alpha _{2}+ \omega _{3}} \cdot \alpha _{3} =\left( x _{1} \alpha _{1} +x _{2} \alpha _{2}+x _{3} \alpha _{3} \ ; \ y _{1} \alpha _{1} +y _{2} \alpha _{2}+y _{3} \alpha _{3} \ ; \ z _{1}\alpha _{1}+z_{2}\alpha _{2}+z _{3}\alpha _{3}\right)=(x,y,z)}\)

\(\displaystyle{ \left( x _{1} \alpha _{1} +x _{2} \alpha _{2}+x _{3} \alpha _{3} \right)^{2}+ \left(\ y _{1} \alpha _{1} +y _{2} \alpha _{2}+y _{3} \alpha _{3} \right)^{2}+\left(z _{1}\alpha _{1}+z_{2}\alpha _{2}+z _{3}\alpha _{3}\right)^{2}=1}\)

I tutaj niestety nie bardzo wiem, co z tym wszystkim zrobić.

Pozdrawiam.