Wektory własne a macierz jednostkowa

[Browning0]

Witajcie, mam pytanie (myślę) dość proste i szybkie.

Załóżmy że mam macierz \(\displaystyle{ A}\). Wyliczam dla niej wartości własne \(\displaystyle{ \lambda_{1} \ldots \lambda_{n}}\)

Dla jakiegoś \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) chciałbym wyliczyć wektory własne. Po zredukowaniu macierzy \(\displaystyle{ A - \lambda_{i} I}\) otrzymuję jednak macierz jednostkową. Co to oznacza? "Sugerowałoby" to wektor zerowy, ale wiadomo że wektory własne nie mogą być zerowe.

Dla przykładu niech będzie to macierz:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 3&-1\\4&-1\end{bmatrix}}\)


Będę wdzięczny za każdą pomoc.
Pozdrawiam!

[Marmat]

Nie może tak być.
Wynika to choćby z tego, że wartości własnych i wartości własnych szukamy rozwiązując równanie:
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)x=0}\)
Rozwiązania niezerowe istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ det(A- \lambda I )=0}\)
Nie byłoby to możliwe w przypadku macierzy jednostkowej.
W podanym przez ciebie przykładzie \(\displaystyle{ \lambda_1=\lambda_2=1}\)
\(\displaystyle{ (A- \lambda I)=\left[\begin{array}{ccc}2&4\\-1&-2\end{array}\right]}\)
Równanie: \(\displaystyle{ (A- \lambda I )x=0}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2)=(x_1,2x_1)}\)
pozdrawiam.

[Browning0]

Rzeczywiście, błąd rachunkowy =)
Tylko domyślam się że miałeś na myśli:

\(\displaystyle{ (A- \lambda I)=\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\4&-2\end{array}\right]}\)

Czy to jakaś nowa magia?

Dzięki i pozdrawiam!