układ równań

[snajper0208]

Witam,
mam do rozwiązania taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y+z=1\\3x-y+3z=2\\x+y+z=0\\x-y+z=1\end{cases}}\)
Stworzyłem macierz współczynników oraz macierz uzupełnioną, R(A) = R(U) = 3.
Układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie, jak mówi prawo Kroneckera-Capellego. Pytanie moje brzmi, co dalej ? Macierz A nie jest kwadratowa więc nie policzę wyznacznika. Myślałem nad wyliczeniem niewiadomej \(\displaystyle{ z}\) z ostatniego równania i podstawienie go do równania trzeciego i dopiero potem tworzenie macierzy współczynników. Co mogę mądrzejszego zrobić ?

[bartek118]

Eliminację Gaussa.

[snajper0208]

a coś innego ? nigdy nie uczyłem się tej metody...

[Vardamir]

Zauważ, że pierwsze równanie ma postać:
\(\displaystyle{ x+x+y+z=1}\)
natomiast drugie:
\(\displaystyle{ 2x+2z+x-y+z=2}\)

Teraz wykorzystaj trzecie i czwarte.

[snajper0208]

Zrobiłem tak. Przekształciłem ten układ równań do równania:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\2x+2z=1\\x+y+z=0\\x-y+z=1\end{cases}}\)
pierwsze równanie pominąłem, z pozostałych trzech zbudowałem macierz współczynników oraz macierz uzupełnioną. Rzędy tych macierzy są sobie równe i wynoszą 2. Liczę wyznacznik macierzy współczynników, \(\displaystyle{ W=0}\). Podobnie \(\displaystyle{ W_x=0}\). W tym momencie coś mi nie gra, bo \(\displaystyle{ x=1}\) (z pierwszego równania, a dzieląc \(\displaystyle{ W_x}\) przez \(\displaystyle{ W}\) wychodzi że \(\displaystyle{ X \in \Re}\). Gdzie robię błąd ?

[Vardamir]

Dlaczego pierwsze pomijasz? I strasznie utrudniasz sobie życie.

Skoro wyliczyłeś już \(\displaystyle{ x}\) to można podstawić do pozostałych równań. Automatycznie dostaniemy rozwiązanie na niewiadomą \(\displaystyle{ z}\)...

[Marmat]

Macierz tego układu to:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-1&3\\1&1&1\\1&-1&1\end{array}\right]}\)
Jeżeli rząd tej macierzy wynosi 3, to można znaleźć minor rzędu 3, którego wyznacznik jest różny od zera.
Na przykład pierwsze trzy wiersze. Oznacza to, że czwarty wiersz jest liniowo zależny od pozostałych i możemy go wyrzucić.
Teraz mamy układ trzech równań z trzema niewiadomymi i macierz układu jest nieosobliwa.
Jest to układ Kramera.
Jak się go rozwiązuje pewnie wiesz.
Pozdrawiam.