Diagonalizacja macierzy

[patlas]

Witam,
mam pewien problem z diagonalizacją macierzy, a dokładniej mówiąc z podnoszeniem jej do potęgi.
Mam taki oto wzór:
\(\displaystyle{ D = P^{-1}AP}\) a chciałbym z niego uzyskać wzór na A. Może mi ktoś wyjaśnić po kolei jak to należy przemnażać i dlaczego, aby uzyskać pożądany efekt?

[rafalpw]

\(\displaystyle{ D = P^{-1}AP \Leftrightarrow PD=PP^{-1}AP \Leftrightarrow PD=IAP \Rightarrow PD=AP \Leftrightarrow PDP^{-1}=APP^{-1} \Leftrightarrow PDP^{-1}=AI \Leftrightarrow PDP^{-1}=A}\)

A jeśli chodzi o potęgowanie:
\(\displaystyle{ A^n=PD^nP^{-1}}\) można to dość szybko udowodnić indukcyjnie.