Wyznaczanie bazy uporządkowanej

[jabbaco]

Witajcie, potrzebuję szybkiej pomocy z poniższym zadaniem:

Dana jest podprzestrzeń:
\(\displaystyle{ X=\left\{ x\in R^4 : x_{1} + x_{2} - 2x_{3} - x_{4} = 0 \wedge x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + 3x_{4} = 0 \right\}}\)

a) wyznaczyć bazę UPORZĄDKOWANĄ i wymiar podprzestrzeni X

b) wykazać, że wektor \(\displaystyle{ x = [ 7 -7 -1 2]^T}\) należy do podprzestrzeni X

c) wyznaczyć współrzędne tego wektora w otrzymanej bazie uporządkowanej podprzestrzeni X

Moje pytania są następujące:

do a): czy baza uporządkowana jest jedna jedyna? czy też w zależności od których \(\displaystyle{ x_n}\) uzależnię pozostałe, to mogą być różne?

do b): nie wystarczy wstawić do układu równań i po prostu rozwiązać, prawda?

[bartek118]

a) Rozwiąż podany układ równań.

b) Podstaw do równań i zobacz, że się zgadza.

c) Zapisz ten wektor jako \(\displaystyle{ x = a_1 v_1 + a_2 v_2}\), gdzie \(\displaystyle{ v_1, v_2}\) to wektory bazowe jakie wyjdą, i z układu równań policzysz \(\displaystyle{ a_1, a_2}\).

a) baz jest wiele, ile sobie nie wymyślisz. Uporządkowana, chodzi o to, że traktujesz ją jako układ wektorów, a nie zbiór.