Macierz odwracalna i diagonalna

[laryzbyszko]

Witam!

Kompletnie nie potrafię sobie poradzić z zadaniem:
Wyznaczyć macierz odwracalną \(\displaystyle{ C}\) i macierz diagonalną \(\displaystyle{ D}\) takie że \(\displaystyle{ A=CDC^{-1}}\)

\(\displaystyle{ A= $$\left[\begin{array}{ccc}
1&4&-1\\
1&0&1\\
0&-4&2
\end{array}\right]$$}\)

Proszę o jakieś wskazówki, a najlepiej rozwiązanie tego przykładu, tak żeby mógł samemu rozwiązać następne.

[Qń]

Zacznij od wyznaczenia wartości własnych i wektorów własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\).

Q.

[Grypho]

Pozwolę sobie kontynuować zadanie.
Mamy trzy wartości własne i w związku z tym trzy wektory własne.
\(\displaystyle{ \lambda_{1}=0}\) i wektor \(\displaystyle{ V_{1} =\left( -1 ; \frac{1}{2};1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}=2}\) i wektor \(\displaystyle{ V_{2} =\left( -1 ; 0 ;1 \right)}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{3}=1}\) i wektor \(\displaystyle{ V_{3} =\left( \frac{-3}{4} ; \frac{1}{4} ; 1 \right)}\)

Co teraz robimy?

[Qń]

Kolumnami macierzy \(\displaystyle{ C}\) są wektory własne, a macierz diagonalna ma na przekątnej wartości własne i zera po przekątnej (koniecznie wektory własne i wartości własne w tej samej kolejności).

Q.

[Grypho]

Czyli mamy tak:
\(\displaystyle{ C=\left[\begin{array}{ccc}-1&-1& \frac{-3}{4} \\ \frac{1}{2}&0& \frac{1}{4} \\ 1&1&1\end{array}\right]}\)
Dla tak zapisanego C mamy:
\(\displaystyle{ D=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}\right]}\)

C odwracamy np dopisując macierz jednostkową po prawej i sprowadzając lewą stronę do postaci schodkowej. Dobrze?

[Qń]

Zgadza się. A przy odwracaniu sprowadzamy wyjściową macierz nie tyle do postaci schodkowej, co po prostu do macierzy jednostkowej - wówczas z prawej strony pojawi się macierz odwrotna.

Q.

[Grypho]

Tak tak, o to mi chodziło.
Jeszcze takie głupie pytanie : diagonalizując macierz otrzymujemy macierz diagonalną z wektorami własnymi tej pierwszej macierzy na diagonali, tak?

[omicron]

Wartościami własnymi, nie wektorami.