wartości własne dowód

matfka · Post autor: **matfka** » 20 sty 2013, o 17:12

Udowodnić, że wartości własne macierzy \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ BA}\) są takie same. Sformułować odpowiednie twierdzenie dla endomorfizmów.

Nie bardzo wiem jak się za to zabrać.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 sty 2013, o 18:27

Co należy założyć o obu macierzach?

Wykaż, że \(\displaystyle{ \det(AB-\lambda I)=\det(BA-\lambda I)}\). Skorzystaj ze znanych własności wyznaczników.

matfka · Post autor: **matfka** » 20 sty 2013, o 18:37

Macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) muszą być podobne?
I muszą należeć do tej samej rodziny macierzy \(\displaystyle{ M_{nxn}}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 sty 2013, o 18:42

No pod jakimś względem muszą być podobne Ale tak - chodzi o równość wymiarów. Uważaj - macierze podobne są ścisłym terminem matematycznym.

matfka · Post autor: **matfka** » 20 sty 2013, o 18:58

Nie mogę wpaść na to jak wykazać równość wyznaczników. Z jakich własnośći skorzystać? \(\displaystyle{ det(AB)=detAdetB}\) chyba nie wiele pomoże

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 sty 2013, o 19:00

To kluczowa własność. I jeszcze jednej potrzeba.

matfka · Post autor: **matfka** » 20 sty 2013, o 19:04

\(\displaystyle{ det(\alpha A)=\alpha^{n}detA}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 sty 2013, o 19:05

Nie. Inna własność jest potrzebna. Bardziej podstawowa. Ale proponuję nie zgadywać tylko rozpocząć dowód wg mojej wskazówki. \(\displaystyle{ \det(AB-\lambda I)=\dots}\). Rozpisz to wg własności wyznaczników.

matfka · Post autor: **matfka** » 20 sty 2013, o 19:23

Tutaj jest różnica a nie ma własności wyznacznika na różnice-- 20 sty 2013, o 19:40 --Ale tu nie chodzi chyba o własności dla wierszy i kolumn a niestety innych własności w wykładzie nie mam