liniowa niezależność

[JakubCh]

czy wektory \(\displaystyle{ \left( 1,2\right) ; \left( 0,-1\right) ; \left( 1,1\right)}\) mogą być liniowo niezależne? bo nie wiem czemu, ale wychodzi mi że tak, no ale przecież w przestrzeni o wymiarze \(\displaystyle{ 2}\) nie może być trzech wektorów liniowo niezależnych.. Gdzieś robię jakiś bardzo głupi błąd, prosze o pomoc w zobaczeniu go

[yorgin]

Raczej ciężko zobaczyć coś, czego nie napisałeś. Pokaż, dlaczego wychodzi Ci, że są liniowo niezależne.

[JakubCh]

\(\displaystyle{ \left( 1,2\right) \alpha +\left( 0,-1\right) \beta = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +0=0 \\ 2 \alpha - \beta =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha =0 \\ \beta =0 \end{cases}}\)

podobnie w reszcie przypadków

[yorgin]

Ok, pokazałeś, że każde dwie pary wektorów są liniowo niezależne. Ale czy to oznacza, że wszystkie trzy wektory też są liniowo niezależne?

[JakubCh]

kurczę, nie wiem dlaczego, ale byłem przekonany, że jak pokażę, że każde dwa są liniowo niezależne, to to wystarczy :<
Mój błąd. Dzięki za pomoc

[yorgin]

Odwrotnie jest ok, tzn jeśli masz 3 wektory liniowo niezależne, to każde dwa z nich są liniowo niezależne. Ale właśnie liniowa niezależność dowolnych dwóch nie implikuje liniowej niezależności pełnego składu. Należy uważać na takie drobnostki