Witam, proszę o pomoc w 2 zadaniach. Jak dobrać parametr \(\displaystyle{ a}\) tak aby dany zbiór był podprzestrzenią wektorową.
1.\(\displaystyle{ A={(x,y) : x^{2} + y^{2} = a }}\)
2. \(\displaystyle{ B={(x,y) : x^{2} - y^{2} = a }}\)
Podobne zadanie tylko bez kwadratów \(\displaystyle{ C={(x,y,z) : x=az}}\) wykonałem w następujący sposób:
sa dwa wektory \(\displaystyle{ u_{1} i u_{2}}\) takie, że należą do C
\(\displaystyle{ C={(az,y,z) : y,z \in R}}\)
sprawdzam 1 warunek podprzestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ u_{1} + u_{2} \in C}\)
1)\(\displaystyle{ u_{1} + u_{2} = (az_{1} + az_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2})=(a(z_{1}+z_{2}), y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2})}\)
w tym przypadku moj \(\displaystyle{ y = y_{1} +y_{2}, z=z_{1} +z_{2}}\)
analogicznie \(\displaystyle{ az=a(z_{1}+z_{2})}\)
rozwiązuje układ równań z którego wychodzi prawda dla wszystkich \(\displaystyle{ a \in R}\)
sprawdzam 2 warunek przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \alpha u_{1} \in C}\)
2) \(\displaystyle{ \alpha u_{1}=( \alpha a z_{1}, \alpha y_{1}, \alpha z_{1} )}\)
znowu rozwiązuje układ równań, z którego wychodzi prawda dla wszystkich \(\displaystyle{ a \in R}\)
Czy dla każdego parametru a \(\displaystyle{ /in R}\) dany zbiór jest podprzestrzenią wektorową ?
Proszę o pomoc i przykładowe rozwiązanie A i B, oraz ewentualne poprawienie mnie w przykładzie C.