Podaj wszystkie możliwe wartości własne przekształceń lin

[laser15]

Podaj wszystkie możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających następujące warunki:

a) \(\displaystyle{ f^2=f}\)
b)\(\displaystyle{ f^2=-f}\)
c)\(\displaystyle{ f^3=f^3}\)


Trzeba skorzystać z zależności chyba czyli \(\displaystyle{ f(v)=\lambda v}\) i \(\displaystyle{ \lambda^2v=\lambda v}\)

ale co z tym zrobić dalej ? Proszę o jakieś wyjasnienia i sory za lambde

[bartek118]

c) - każde odwzorowanie to spełnia, więc mogą być dowolne wartości własne.

a)
Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie wartością własną dla \(\displaystyle{ f}\). Wówczas dla pewnego \(\displaystyle{ v}\) mamy \(\displaystyle{ f(v)=\lambda v}\). Połóżmy wektor \(\displaystyle{ v}\) w a). Wówczas:
\(\displaystyle{ (f^2(v)) = f(v)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ f(f(v)) = f(v)}\) [rozumiem, że chodziło o złożenie, i że \(\displaystyle{ f : V \rightarrow V}\)]
\(\displaystyle{ f(\lambda v) = \lambda v \\
\lambda^2 v = \lambda v}\)
Zatem
\(\displaystyle{ (\lambda^2 - \lambda ) v = 0}\), możemy założyć, że wybraliśmy \(\displaystyle{ v \neq 0}\). Zatem
\(\displaystyle{ \lambda (\lambda - 1) = 0}\), skąd łatwo odczytać rozwiązanie.

b) - analogicznie.