Wyznaczenei wartości i wektorów własnych macierzy.

[andsze1]

Witam.
Mam taką macierz A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&2&0\\3&0&1\end{array}\right]}\)

Żeby wyznaczyć wartości własne to odejmuje przez:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0&3\\0&2&0\\3&0&1\end{array}\right]}\) - \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0&3\\0&2-\lambda&0\\3&0&1-\lambda\end{array}\right]}\)

Jak z tego policzę wyznacznik metodą Sarussa to mam : \(\displaystyle{ (2-\lambda)(-2-\lambda)(4-\lambda)=0}\)

Wiec wartości wyszły mi odpowiednio:
\(\displaystyle{ \lambda=2}\)

\(\displaystyle{ \lambda=-2}\)

\(\displaystyle{ \lambda=-4}\)

Teraz chcę wyznaczyć wektor własny:

dla \(\displaystyle{ \lambda=2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-x+0y+3z=0 \\ 0x+0y+0z=0\\3x+0y-z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-x+3z=0 \\ 3x-z=0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 2x=-2z}\)

\(\displaystyle{ x=-t}\)

\(\displaystyle{ y=0}\)

\(\displaystyle{ z=t}\)

Gdyby ktoś mógł rzucić okiem i sprawdzić czy dobrze.

[Qń]

Źle - rozwiązaniem układu:
\(\displaystyle{ \begin{cases}-x+0y+3z=0 \\ 0x+0y+0z=0\\3x+0y-z=0 \end{cases}}\)
jest
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\ y=t\\ z=0 \end{cases}}\)

Q.

[andsze1]

ale \(\displaystyle{ y=0}\) mógłbyś mi wytłumaczyć dlaczego jest równe "t" ?-- 17 sty 2013, o 15:00 --A dla pozostałych lambda mam tak samo obliczyć ?

[Qń]

Żadne z równań nie narzuca nam warunku na \(\displaystyle{ y}\), stąd \(\displaystyle{ y}\) jest dowolne. Natomiast z pierwszego i trzeciego wynika, że \(\displaystyle{ x,z}\) są zerami.

W pozostałych przypadkach również rozwiązuje się układy równań.

Q.

[andsze1]

dla \(\displaystyle{ \lambda=-2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}3x+0y+3z=0 \\ 0x+4y+0z=0\\3x+0y+3z=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=0\\ y=0\\ z=0 \end{cases}}\)


dla \(\displaystyle{ \lambda=4}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}-3x+0y+3z=0 \\ 0x-2y+0z=0\\3x+0y-3x=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=t \end{cases}}\)

Dobrze ?

[Qń]

Dla \(\displaystyle{ \lambda = -2}\) mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=t\\ y=0\\ z=-t \end{cases}}\)

Q.

[andsze1]

a dla \(\displaystyle{ \lambda=4}\) jest dobrze ?

[Qń]

Tak.

Q.