Odwzorowanie liniowe - znajdywanie ker f, bazy ker f.

[w8w8w8]

Witam.
Mam niemały problem z zadaniem.
Są takie odwzorowania:
\(\displaystyle{ f(x,y)=(2x-y,-y,x)\\
g(x,y,z)=(x+y, y-z)}\)

mam znależć \(\displaystyle{ \text{Ker } f, \text{Ker } g, \Im f, \Im g}\).
Problem w tym, że nie znam metody jak je znaleźć.

Próbowałem tak jak tu: 104522.htm, ale wychodzą jakieś głupoty.
oraz potrzebuję wiedzieć jak wyznaczyć bazę.

[Marcin_92]

Rozwiążę pierwszy przykład, drugi robi się analogicznie.
\(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R^3}\) \(\displaystyle{ f(x,y)=(2x-y,-y,x)}\)

Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker f}\) musimy rozwiązać następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y=0 \\ -y=0 \\ x=0 \end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=0}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ B _{Ker f}=(0,0,0)}\)

\(\displaystyle{ Im f= \left\{v \in R^3:v=(2x-y,-y,x)\right\}}\) Zapisujesz to jako sumę tylu składników ile jest parametrów, czyli:
\(\displaystyle{ v=x(2,0,1)+y(-1,-1,0)}\)
W tym przypadku od razu widać, że wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę \(\displaystyle{ Im f}\).

Drugi przykład rozwiąż samodzielnie, ewentualnie pokaż wynik to sprawdzę czy dobrze.

[w8w8w8]

Rozwiążę pierwszy przykład, drugi robi się analogicznie.
\(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R^3}\) \(\displaystyle{ f(x,y)=(2x-y,-y,x)}\)

Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker f}\) musimy rozwiązać następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-y=0 \\ -y=0 \\ x=0 \end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ y=0}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ B _{Ker f}=(0,0,0)}\)

\(\displaystyle{ Im f= \left\{v \in R^3:v=(2x-y,-y,x)\right\}}\) Zapisujesz to jako sumę tylu składników ile jest parametrów, czyli:
\(\displaystyle{ v=x(2,0,1)+y(-1,-1,0)}\)
W tym przypadku od razu widać, że wektory są liniowo niezależne, więc stanowią bazę \(\displaystyle{ Im f}\).

Drugi przykład rozwiąż samodzielnie, ewentualnie pokaż wynik to sprawdzę czy dobrze.

\(\displaystyle{ g:R^3 \rightarrow R^2}\) \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x+y,y-z)}\)

Żeby wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker g}\) musimy rozwiązać następujący układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=0 \\ y-z=0 \end{cases}}\)
Czyli \(\displaystyle{ x=-y}\) oraz \(\displaystyle{ z=y}\)
Z tego wynika,?? że \(\displaystyle{ B _{Ker f}=(-y,y,y)}\) ??
Z tego wynika,?? że \(\displaystyle{ B _{Ker f}=y(-1,1,1)}\) ??

teraz
\(\displaystyle{ Im f= \left\{v \in R^3:v=(x+y,y-z)\right\}}\)
\(\displaystyle{ v=x(1,0)+y(1,1)+z(0,-1)}\)
?

[Marcin_92]

Teraz została Ci tylko do wyznaczenia baza \(\displaystyle{ Im g}\). W tym celu musisz zbadać, czy wektory \(\displaystyle{ (1,0), (1,1), (0,-1)}\) są liniowo niezależne. W tym przypadku widać, że tak nie jest, więc musisz odrzucić wektor \(\displaystyle{ (1,1)}\) i wektory \(\displaystyle{ (1,0), (0,-1)}\) przyjąć za bazowe.
W tym przykładzie łatwo to zauważyć, ale gdy będziesz miał problem ze stwierdzeniem czy wektory są liniowo niezależne to pamiętaj następującym twierdzeniu:
Jeżeli \(\displaystyle{ f:U \rightarrow V}\) to \(\displaystyle{ dim Ker f + dim Im f= dim U}\).
W tym przypadku mamy \(\displaystyle{ g:R^3 \rightarrow R^2}\), wyznaczyłeś, że \(\displaystyle{ dim Ker g=1}\), więc \(\displaystyle{ dim Im g=dim R^3 - dim Ker g \Leftrightarrow dim Im g=3-1=2}\), czyli baza \(\displaystyle{ Im f}\) składa się z 2 wektorów.