Mam takie zadanie, niespecjalnie wiem jak je rozwiązać:
Niech \(\displaystyle{ v_1=[1,1,1]^T, v_2=[1,1,0]^T, v_3=[1,0,0]^T}\) i niech \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) będzie przekształceniem liniowym zdefiniowanym przez warunki:
\(\displaystyle{ T(v_1)=[-1,2,0]^T, T(v_2)=[3,0,1]^T, T(v_3)=[-1,5,1]^T.}\)
1. Znajdź wzór na \(\displaystyle{ T(x)}\) dla dowolnego wektora x z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) i zastosuj go do obliczenia \(\displaystyle{ T([2,4,-1]^T)}\).
Czy tutaj odpowiedź wynosi \(\displaystyle{ [11, -1, 3]^T}\)??
2. Dlaczego przekształcenie \(\displaystyle{ G(x)= T(T(x))}\) jest liniowe?
Tutaj mam taki pomysł, że złożenie dwóch przekształceń jest iloczynem dwóch macierzy, więc macierz przekształcenia G(x):
\(\displaystyle{ B=\left[ \begin{array}{ccc}-1&3&-1\\2&0&5\\0&1&1 \end{array}\right]\cdot\left[ \begin{array}{ccc}-1&3&-1\\2&0&5\\0&1&1 \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccc}7&-4&15\\-2&11&3\\2&1&6 \end{array}\right]}\)
i można pokazać, że dla przekształcenia opartego na takiej macierzy zachodzi
\(\displaystyle{ G(ax+by)=a*G(x)+b*G(y)[ ex]
ale czy macierz B jest liczona prawidłowo? I czy z dobrej macierzy?
3. Wyznacz macierze przekształceń T i G w standardowej bazie jednostkowej.}\)