Wyznaczanie wektorów

[mati150_92]

Witam potrzebuje rozwiązań tych zadań:
1) Wyznacz wektorowe rozwiązanie parametryczne danego układu równań jednorodnych i określ stąd bazę B oraz wymiar "n" podprzestrzeni \(\displaystyle{ V \subset R ^{4}}\) wszystkich tych rozwiązań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z+2t=0 \\ 3x-2y-z-t=0 \end{cases}}\)
2) Wyznacz rachunkiem współrzędne wektora \(\displaystyle{ w=1+4x+2x^{2}}\) w bazie

\(\displaystyle{ B=\left\{1+x+x ^{2},2+3x,-1+x+2x ^{2} \right\}}\) przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R _{2}[x].}\)

3. (a) Pokaż stosując odpowiednie kryterium, że dany układ wektorów:
\(\displaystyle{ w _{1}=[1,1,1,1], w _{2}=[1,1,1,0], w _{3}=[0,1,-1,1] i w _{4}=[0,0,1,1]}\) stanowi bazę przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R ^{4}}\).
(b) Oblicz, które pary wektorów \(\displaystyle{ \left\{w _{i}\right\} _{i}= 1,2,3,4}\) są ortogonalne ?

4. Wyznacz bazę ortogonalną \(\displaystyle{ B _{2}=\left\{w _{1}, w _{2}, w _{3}\right\}}\) znając bazę:
\(\displaystyle{ B _{1}=\left\{b _{1}=e _{1}-e _{2}, b _{2}=e _{2}+e _{3}, b _{3}=e _{1}-e _{3}\right\} \subset R ^{3}}\) (przy standardowym iloczynie skalarnym).