Znajdź macierz odwzorowania

[timus221]

Odwzorowanie \(\displaystyle{ T : \RR ^{2} \rightarrow \RR ^{2}}\) jest liniowe i przyjmuje wartosci: \(\displaystyle{ T ([1; 1]) = [0; 1]}\) oraz \(\displaystyle{ T ([2; 3]) = [1; 1]}\). Znaleźć macierz tego odwzorowania, jesli w obu przestrzeniach \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) przyjmiemy bazy kanoniczne. Proszę o pomoc.

[Vardamir]

Ponieważ odwzorowanie jest liniowe możemy zapisać.

\(\displaystyle{ \begin{cases} T\left( \left[ 1,0\right] \right) +T\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left[ 0,1\right]\\
2T\left( \left[ 1,0\right] \right) +3T\left( \left[ 0,1\right] \right) =\left[ 1,1\right]\end{cases}}\)

Zamieniając na przyjemniejsze oznaczenia:

\(\displaystyle{ \begin{cases} e'_{1} +e'_{2} =\left[ 0,1\right]\\
2e'_{1} +3e'_{2} =\left[ 1,1\right]\end{cases}}\)

Gdzie \(\displaystyle{ e_{1}'}\) oraz \(\displaystyle{ e_{2}'}\) to odpowiednio wektory na, które przechodzą wersory. Czyli wyznaczają one przekształcenie.

[timus221]

czyli jak ostatecznie będzie wyglądała ta macierz odwzorowania?

[Vardamir]

Rozwiąż układ równań, który podałem.

Macierz będzie postaci \(\displaystyle{ M=\left( e_{1}',e_{2}'\right)}\)

[timus221]

Wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1& 1\\ 2& -1\end{bmatrix}}\)

[Vardamir]

Zgadza się.