Takie mam oto zadanie. Zdaje mi się, że rozumiem co to uogólniona macierz odwrotna, ale nie do końca wiem co i w jaki sposób mam pokazać w zadaniu... Jest ktoś w stanie chociaż coś podpowiedzieć?
*We wzorach pokazuje y, ale w ich miejscu jest taki krzyżyk (tak wiem, że nieprofesjonalnie to określam...), jak się kliknie na wzór to się wyświetla poprawnie
(Uogólnione macierze odwrotne)
Niech B będzie m×n macierzą prostokątną rzędu n, m n. Na przykład jako macierz B
wybierz początkowe kolumny macierzy Vandermonde’a. Sprawdź, że wówczas \(\displaystyle{ rank(B) =
n}\), wyznaczając rząd macierzy B za pomocą funkcji rank.
Wiadomo, że macierz
\(\displaystyle{ B^{†} = (B^{T}B)^{m}B^{T}}\) (2)
jest uogólnioną macierzą odwrotną Moore-Penrose do macierzy B rzędu n, czyli macie-
rzą jednoznacznie określoną przez następujące warunki:
\(\displaystyle{ BB^{†}B= B}\), \(\displaystyle{ B^{†}BB^{†} = B^{†}}\), \(\displaystyle{ (B^{†}B)^{T} = B^{†}B}\), \(\displaystyle{ (BB^{†})^{T} = BB^{†}}\).
Te cztery warunki definiują jednoznacznie uogólnioną macierz odwrotną również dla
macierzy B dowolnego rzędu, ale ten przypadek nie jest w zadaniu rozważany.
Przeprowadź eksperymenty na komputerze pokazujące, jak dokładnie w praktyce obli-
czone w komputerze (numerycznie) macierze B† spełniają te warunki. W szczególności
wybierz jako macierz B macierz kwadratową Hilberta Hn i narysuj takie wykresy jak
w poprzednim zadaniu. Pamiętaj, że jeśli macierz B jest rozmiaru m × n, to B† jest
rozmiaru n × m.
Rada. Na przykład obliczaj normy Frobeniusa \(\displaystyle{ ||BB^{†}
_{obl}B−B||_{F}}\) , gdzie \(\displaystyle{ B^{†}}\)