Wartości własne macierzy i wektory

[Adrian1216]

Mam problem z obliczeniem głównie wektorów własnych

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&5\\4&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} -\lambda&5\\4&1-\lambda \end{vmatrix}=0}\)
\(\displaystyle{ -\lambda+\lambda ^{2}-20=0\\}\)
\(\displaystyle{ \Delta=81}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=9\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1}=-4\\}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{2}=5\\}\)

to teraz \(\displaystyle{ \vec{u _{1}}}\) dla \(\displaystyle{ \lambda=-4}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&5\\4&-3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}}\)
i tu jest właśnie problem bo nie wiem jak to dalej zrobić. Tzn. wydaje mi się że trzeba obrać jedną współrzędną za parametr. No to choćby nawet

\(\displaystyle{ niech y=\alpha}\)
\(\displaystyle{ -4x+5\alpha=0}\)
\(\displaystyle{ -4x=-5\alpha\\
x= \frac{5}{4}\alpha}\)
czyli \(\displaystyle{ \vec{u _{1}}=[\frac{5}{4}\alpha,1\alpha]}\)?
w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \vec{u _{1}}=[5\alpha,-4\alpha]}\)
Po przemnożeniu swojego przez 4 nie da mi wyniku z książki. Co robię nie tak?

[luka52]

Jak wstawiasz \(\displaystyle{ \lambda = -4}\), to powinieneś dostać macierz: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}}\)

[Adrian1216]

heh, no tak