Wartości własne, wektory własne i uogólnione wektory własne.

[BlueImmortal]

Bardzo prosiłbym o pomoc w skończeniu i sprawdzenie zadania.

Wyznacz wartości własne, wektory własne i uogólnione wektory własne macierzy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Wartości własne bez problemu policzyłem, wyznaczając wielomian charakterystyczny z macierzy :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&1&0\\0&1-\lambda&1\\0&0&1-\lambda\end{array}\right]}\)

Sprowadzając do wielomianu charakterystycznego :

\(\displaystyle{ \left( 1-\lambda\right) \cdot \left( 1-\lambda\right) \cdot\left( 1-\lambda\right)=0}\)

Z czego wartość własna wyszła 1 nie wiem czy to ma jakieś znaczenie, że jest ona pierwiastkiem potrójnym.

Wektor własny dla wartości własnej 1 liczyłem tak :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right]}\)

gdzie otrzymałmem \(\displaystyle{ x_{2}=0}\) i \(\displaystyle{ x_{3} = 0}\)

czyli mój wektor własny jeśli się nie mylę wynosi :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\0\\0\end{array}\right]}\)

dla dowolnych \(\displaystyle{ x_{1}}\)

i teraz mam problem, nie wiem wyliczyć te wektory własne uogólnione macierzy.
Prosiłbym o dokładne wytłumaczenie żebym mógł odwołać się do sposobu w analogicznych zadaniach.
Z góry dziękuje.

[siryj]

Zrobiłeś prawie wszystko, wektory własne to przestrzeń generowana przez ten wektor
lub
\(\displaystyle{ L(B\left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right]))}\)
mam wątpliwości co do tego czy trzeba tam wpisać B ale ogólnie sens jest taki

[BlueImmortal]

A skąd tam się ta 1 wzięła?

[siryj]

A skąd tam się ta 1 wzięła?

ponieważ wskazany przeze mnie wektor jest najprostszy, oczywiście zamiast jedynki może tam być dowolna liczba rzeczywista, ale 1 jest najprościej