Mam daną macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\0&3\end{bmatrix}}\)
Wyznaczyłem wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ W(\lambda)=(1-\lambda)(3-\lambda)}\)
Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=3}\) wychodzą wektory postaci \(\displaystyle{ [x _{1},x _{1}]}\), ale w przypadku \(\displaystyle{ \lambda=1}\) mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\0&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
Wektor własny nie może być w. zerowym, a tak wynika z tego równania.
Jak wyznaczyć podprzestrzeń wektorów własnych \(\displaystyle{ ker(A-\lambda I)}\)?
Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych
Z równania macierzowego
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\0&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
otrzymasz \(\displaystyle{ x_2=0}\), ale \(\displaystyle{ x_1}\) może być dowolne (niezerowe), zatem wektor własny jak najbardziej istnieje.
Baza wskazanej podprzestrzeni składa się z wektorów własnych \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}}\) pochodzących od odpowiednich wartości własnych.
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\0&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
otrzymasz \(\displaystyle{ x_2=0}\), ale \(\displaystyle{ x_1}\) może być dowolne (niezerowe), zatem wektor własny jak najbardziej istnieje.
Baza wskazanej podprzestrzeni składa się z wektorów własnych \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}}\) pochodzących od odpowiednich wartości własnych.
-
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 7 sty 2013, o 21:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych
Łukasz a powiedziałbyś, jak powstały te wektory, z których składa się ta baza podprzestrzeni?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych
Mając ogólną postać wektorów własnych dla każdej wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), wyłącz \(\displaystyle{ x_1}\) jako stały czynnik z każdej współrzędnej.