Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aurum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 17 paź 2012, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 6 razy

Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych

Post autor: aurum »

Mam daną macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\0&3\end{bmatrix}}\)

Wyznaczyłem wielomian charakterystyczny:
\(\displaystyle{ W(\lambda)=(1-\lambda)(3-\lambda)}\)

Dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=3}\) wychodzą wektory postaci \(\displaystyle{ [x _{1},x _{1}]}\), ale w przypadku \(\displaystyle{ \lambda=1}\) mam:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\0&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
Wektor własny nie może być w. zerowym, a tak wynika z tego równania.
Jak wyznaczyć podprzestrzeń wektorów własnych \(\displaystyle{ ker(A-\lambda I)}\)?
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych

Post autor: lukasz1804 »

Z równania macierzowego
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&2\\0&2\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x _{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}}\)
otrzymasz \(\displaystyle{ x_2=0}\), ale \(\displaystyle{ x_1}\) może być dowolne (niezerowe), zatem wektor własny jak najbardziej istnieje.

Baza wskazanej podprzestrzeni składa się z wektorów własnych \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}}\) pochodzących od odpowiednich wartości własnych.
BlueImmortal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 7 sty 2013, o 21:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych

Post autor: BlueImmortal »

Łukasz a powiedziałbyś, jak powstały te wektory, z których składa się ta baza podprzestrzeni?
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wyznacz wektory własne i podprzestrzeń wektorów własnych

Post autor: lukasz1804 »

Mając ogólną postać wektorów własnych dla każdej wartości \(\displaystyle{ \lambda}\), wyłącz \(\displaystyle{ x_1}\) jako stały czynnik z każdej współrzędnej.
ODPOWIEDZ