Zbadać, czy podany układ wektorów jest bazą w R^5

[matzo]

Zbadać, czy podany układ wektorów jest bazą w \(\displaystyle{ R^{5}}\)

\(\displaystyle{ \left\{
\left(0,1,0,-1,0 \right),
\left(-1,0,1,0,1 \right),
\left(0,0,0,1,01 \right),
\left(1,-1,1,-1,1 \right),
\left(1,1,1,1,1,1 \right)
\right\}}\)

Wiem, że muszą być liniowo niezależne, czyli \(\displaystyle{ det \neq 0}\) oraz że jak muszą generować \(\displaystyle{ R^{5}}\) czyli jak przypuszczam musi istnieć piątka liczb (a1,a2,a3,a4,a5), taka, że (x,y,z,w,v) = a1(0,1,0,-1,0) + ... + a5(-//-);

Niestety ten sposób z powodu złożoności problemu wydaje się nie nadawać co robić ?

[yorgin]

Jeśli masz układ 5 wektorów liniowo niezależnych w przestrzeni o wymiarze 5, to jest to też baza tej przestrzeni. Wystarczy więc sprawdzić liniową niezależność, a więc czy wyznacznik jest niezerowy. Nic więcej nie trzeba robić, gdyż generowanie wynika natychmiast z tego, że układ jaki dostaniesz, jest układem liniowym niejednorodnym o niezerowym wyznaczniku głównym, który ma jedyne rozwiązanie.

[matzo]

Co gdyby był taki układ:
\(\displaystyle{ \left\{
\left(0,1,0,-1,0 \right),
\left(-1,0,1,0,1 \right),
\left(0,0,0,1,01 \right),
\left(1,-1,1,-1,1 \right)
\right\}}\)

albo taki ?

\(\displaystyle{ \left\{
\left(0,1,0,-1,0 \right),
\left(-1,0,1,0,1 \right),
\left(0,0,0,1,01 \right),
\left(1,-1,1,-1,1 \right),
\left(1,1,1,1,1 \right),
\left(1,0,0,0,0 \right)
\right\}}\)

jak to wtedy liczyć ?

[yorgin]

Układ 4 wektorów nie może być bazą 5-wymiarowej przestrzeni. Podobnie układ 6 wektorów nie może. Wymiar przestrzeni to wymiar dowolnej bazy tej przestrzeni, a skoro masz mieć bazę 5-wymiarowej przestrzeni, to musisz mieć dany układ 5 wektorów.

[Frmen]

Zbadać, czy podany układ wektorów jest bazą w \(\displaystyle{ R^{5}}\)

\(\displaystyle{ \left\{
\left(0,1,0,-1,0 \right),
\left(-1,0,1,0,1 \right),
\left(0,0,0,1,01 \right),
\left(1,-1,1,-1,1 \right),
\left(1,1,1,1,1,1 \right)
\right\}}\)

Wiem, że muszą być liniowo niezależne, czyli \(\displaystyle{ det \neq 0}\) oraz że jak muszą generować \(\displaystyle{ R^{5}}\) czyli jak przypuszczam musi istnieć piątka liczb (a1,a2,a3,a4,a5), taka, że (x,y,z,w,v) = a1(0,1,0,-1,0) + ... + a5(-//-);

Niestety ten sposób z powodu złożoności problemu wydaje się nie nadawać co robić ?

Do słusznych uwag przedmówcy chce tylko dodać iż nie musisz liczyć wyznacznika, wyznaczenie rzędu macierzy jest o wiele prostsze a to wystarczy.
Rząd macierzy wyznacza wymiar podprzestrzeni generowanej przez te wektory.

Jeśli przestrzeń ma wymiar n ( u nas 5) i podprzestrzeń również ma wymiar n (u nas 5) to są one identyczne.

Jeśli ktoś by się jednak uparł (wykładowca ?) sprawdzić jednak ten drugi warunek, to nie jest to wbrew pozorom aż tak skomplikowane.
Jednak nawet komputery nie liczą takich rzeczy wzorami Cramera, Są one ogromnie przydatne teoretycznie a praktycznie w przypadku ręcznych obliczeń do wymiaru 3
Układ taki możesz "ręcznie" rozwiązać np metoda eliminacji Gausa (opis znajdziesz łatwo)