Przekształcenie liniowe, macierz liniowa

[1986Aneta]

Cześć,

Mam do rozwiązania zadanie dotyczące przekształcenia liniowego macierzy, niestety nie wiem jak się do niego zabrać, może jest ktoś kto mi pomoże:

Wykaż, że poniższe odwzorowania są przekształceniami liniowymi:
a) \(\displaystyle{ f:R^2 \rightarrow R, \ \ \ f((x_1,x_2))=2x_1-3x_2}\)
b) \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R^2, \ \ \ f(x)=(-3x,2x)}\)

Wyznacz macierz \(\displaystyle{ A}\) przekształcenia liniowego w bazach standardowych, tak aby \(\displaystyle{ x \rightarrow f(x) = Ax}\)

[yorgin]

Podstawowe pytanie: znasz definicję przekształcenia liniowego? Jest to pewien warunek, który należy sprawdzić dla każdej z wymienionych funkcji.

[1986Aneta]

Tak, nie bardzo nie mieliśmy tego zbyt dobrze na wykładach wyjaśnione, czytałam troche w internecie, ale niestety nie wiem jak to zadanie rozwiązać

[yorgin]

Jeśli \(\displaystyle{ f:X\to Y}\) ma być liniowe, to musisz sprawdzić warunek
\(\displaystyle{ \forall x,y\in X, \alpha,\beta \in\mathbb{K}\ \ f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}\)

Innymi słowy, w przykładzie pierwszym sprawdzić, czy

\(\displaystyle{ f((\alpha x_1+\beta y_1,\alpha x_2+\beta y_2))=\alpha f(x_1,x_2)+ \beta f(y_1,y_2)}\)

Robisz to rozpisując np. obie strony tak długo, aż będzie widać, że są sobie równe.

[1986Aneta]

A czy mogłabym prosić o rozpisanie tego, bo niestety nie bardzo wiem jak

[yorgin]

\(\displaystyle{ f((\alpha x_1+\beta y_1,\alpha x_2+\beta y_2))=\\
2(\alpha x_1+\beta y_1)-3(\alpha x_2+\beta y_2)=\\
\alpha(2x_1-3x_2)+\beta(2y_1-3y_2)=\\
\alpha f(x_1,x_2)+\beta f(y_1,y_2)}\)

Drugi przykład robisz tak samo.

[1986Aneta]

Z tego rozumiem, że x1=y1, x2=y2.

A jak z tego teraz utworzyć macierz?

[yorgin]

Z tego rozumiem, że x1=y1, x2=y2.

A skąd taki wniosek?

A jak z tego teraz utworzyć macierz?

Niech \(\displaystyle{ Ax=f(x)}\), czyli dokładniej
\(\displaystyle{ A \left[ \begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=2x_1-3x_2}\)
Macierz \(\displaystyle{ A}\) musi mieć postać
\(\displaystyle{ A=[a,b]}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b}\), które łatwo wyznaczasz przez porównanie.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ A=[2, -3]}\)