zad z parametrem

[zuzanna77777]

okresl ilosc rozw w zaleznosci od parametru a

rownanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
ax+a ^{2}y+az=-a\\x+y-az=a ^{2} \\x-y+z=2\end{cases}}\)

aktualnie przerabiam dzial macierze,probowalam rozw metoda wyznacznikow...

[szw1710]

Formułuj tytuły lepiej. Czy nie czujesz gry słów?

Należy zastosować twierdzenie Cramera. Za jego pomocą, tam gdzie wyznacznik jest różny od zera, obliczyć rozwiązanie jednoznacznie. Tam, gdzie się zeruje, rozważyć osobno konkretne układy równań.

[zuzanna77777]

ok,obliczylam wyznacznik glowny macierzy
wyszedl
\(\displaystyle{ a ^{2} -2a}\) czyli a nie może być 0 i 2

kolejne wyznaczniki A1
\(\displaystyle{ -a ^{4}-3a ^{3}-a ^{2}-3a}\)


A2
\(\displaystyle{ -a ^{3}+4a ^{2}+3a}\)

A3
\(\displaystyle{ a ^{4}+a ^{3}+2a ^{2}+4a}\)


po podstawieniu do wzorow by byly 3 rozw x1,x2,x3 nie wychodzi nic klarownego...

[timus221]

a znasz może Twierdzenie Kroneckera-Capellego ? To zadanie ,by poszło od razu z niego

[zuzanna77777]

nie,ale juz poznalam bynajmniej tak mi sie wydaje wiec





macierz A= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&a^{2}&a\\1&1&-a\\1&1&1\end{array}\right]}\)


i macierz uzupelniona,dodaje wyrazy wolne z prawej strony.
okreslam rzad tych macierzy.
wyznacznik macierzy A : \(\displaystyle{ -a^{3}-a}\)
tylko nie b.wiem co dalej jak z tymi parametrami...jak okreslac te rzedy gdy mam parametry...
i gdy

\(\displaystyle{ l.niewiadomych= rz.macierzy A= rz.macierz.uzupelnionej}\) 1 rozwiazanie



\(\displaystyle{ l.niewiadomych > rz.macierzy A = rz.macierz.uzupelnionej}\) \(\displaystyle{ \infty rozwiazan}\)



a gdy
\(\displaystyle{ rz. macierzy \neq - 0.rozwiazan}\)

[timus221]

1 rozwiązanie gdy wyznacznik \(\displaystyle{ detA \neq 0}\) reszta tak jak mówisz .

[zuzanna77777]

czyli nie musze liczyc tego warunki na 1rozw ktory zapisalam?
moge prosic o dokonczenie, bo nie wiem jak te warunki z tymi parametrami policzyc...
potrzebuje tego zad na kolokwium. umiejetnosci rozwiazania takich zadan...

[timus221]

Liczysz sobie wyznacznik macierzy . Ty mówisz ,że to \(\displaystyle{ -a^{3}-a}\) wiec niech tak bedzie , teraz sprawdzasz dal jakich a ten wyznacznik bedzie rozny od zera. Wychodzi ,ze dla a róznego od 0 i dla a różnego od 1. Zatem 1 rozwiaznie gdy a równe 0 i a równe 1. Następnie badasz przypadki podstawiając najpierw za a zero , nastepnie 1.

[zuzanna77777]

ok, ale co z macierza uzup? ok,czyli tworze jakby 2nowe macierze? z tej a? podstawiam najpierw 1 wyliczony parametr potem 2?i sprawdza wyznacznik czy rzad?

-- 6 sty 2013, o 21:31 --

gdy podstawie za
\(\displaystyle{ a=0}\)
wychodzi mi z=2 x,y=0


a gdy tworze macierz wyzn.nowej macierzy=0-- 6 sty 2013, o 21:34 --gdy podstawie za a=-1 (o tam byl jednak blad) to wyzn tej macierzy tez wychodzi 0

ja chyba tego nie rozumiem.....

[timus221]

sprawdzasz rzad w zaleznosci od parametru

[zuzanna77777]

ok, ale mowa o macierzy glownej czy tej wiekszej? moglabym poprosic o rozpisanie tego zad?

[timus221]

no dobra więc macierz A jest pomyłka ma być : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&a^{2}&a\\1&1&-a\\1&-1&1\end{array}\right]}\) Wyznacznik : \(\displaystyle{ -a^{3} -2a ^{2}-a}\) . \(\displaystyle{ detA \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 0 \wedge a \neq -1}\) .Zatem 1 rozwiązanie dla \(\displaystyle{ a \neq 0 \wedge a \neq -1}\) . Teraz badamy przypadek ,gdy a=0. Macierz A wygląda tak : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&1&0\\1&1&1\end{array}\right]}\).Jej rząd to 2. Macierz Auzupełniona:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&2\end{array}\right]}\) Zatem jej rząd to 2. Rząd A= Rząd Auzupełnionej i mniejsze od liczby niewiadomych ,więc układ ma \(\displaystyle{ \infty rozwiazan}\).

Badamy dla a=-1. Macierz A wygląda tak : \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right]}\) jej rząd wynosi 2. Macierz Auzupełniona: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}-1&1&-1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&2\end{array}\right]}\) Jej rząd to 3. Zatem rządA\(\displaystyle{ \neq}\) rząd Auzupełnionej.Wieć dla a=-1 układ sprzeczny.

[zuzanna77777]

dziekuje