Równianie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostą

[Maserman]

Witam, mam trudności z rozwiązaniem zadania:

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,-3)}\) i prostą \(\displaystyle{ l: \begin{cases} x=-1+2t \\ y=3+t \\ z=1-3t \end {cases}}\)

Z równania prostej wiem, że wektorem równoległym do niej jest \(\displaystyle{ \vec{v}=[2,1,-3]}\) oraz że zawiera punkt \(\displaystyle{ A=(-1,3,1)}\). Wyznaczam wektor \(\displaystyle{ \vec{PA}=[-2,1,4]}\) który po przemnożeniu wektorowym przez \(\displaystyle{ \vec{v}}\) powinien mi dać wektor do nich prostopadły (a zatem do płaszczyzny którą tworzą), zatem \(\displaystyle{ \vec{n}=[-7,2,0]}\)

Problem polega na tym, że w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 7x+y-4z+2=0}\) co od razu pokazuje, że współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{n}}\) są nieprawidłowe. Posiadam przykładowe rozwiązanie tego zadania które potwierdza, że odpowiedź jest dobra, tylko że opiera się ono na stworzeniu opisu parametrycznego płaszczyzny H z parametrami t i s, następnie wyliczeniu ich na podstawie rzędu macierzy i "jakieś" rozwiązanie tego zadania (piszę "jakieś gdyż nie mogę się dalej połapać).

Mam jeszcze pytanie, czy płaszczyzna przechodząca przez punkt i prostą oznacza to samo co płaszczyzna przechodząca przez punkt i zawierająca prostą?
Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc.
Pozdrawiam.

[Qń]

zatem \(\displaystyle{ \vec{n}=[-7,2,0]}\)
(...)
współrzędne wektora \(\displaystyle{ \vec{n}}\) są nieprawidłowe.

Owszem, ale nie z uwagi na podaną przez Ciebie odpowiedź z książki (która jest ewidentnie zła, bo do tamtej płaszczyzny nie należy na przykład punkt \(\displaystyle{ P}\)), ale z uwagi na to, że źle wyznaczyłeś wektor normalny. Powinno być:
\(\displaystyle{ \vec{n}=[-7,2,-4]}\)

Q.

[Maserman]

Dziękuję Ci Qń za odpowiedź. Faktycznie pomyliłem się aż dwa razy przy wyznaczaniu wektora \(\displaystyle{ \vec{n}}\).

Sprawdziłem podstawiając zarówno punkt \(\displaystyle{ P}\) jak i \(\displaystyle{ A}\) i równanie płaszczyzny wygląda tak: \(\displaystyle{ -7x+2y-4z-9=0}\)

Ponawiam także moje pytanie, czy płaszczyzna przechodząca przez punkt i prostą oznacza to samo co płaszczyzna przechodząca przez punkt i zawierająca prostą? Może wystąpić taki przypadek, że prosta jak wiadomo jest nieskończona, lecz płaszczyzna jest ograniczona i prosta leżąca na niej "wychodzi" poza nią?

Pozdrawiam.