uklad rownan z parametrem

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Faner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 21 paź 2012, o 17:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: katowice
Podziękował: 27 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: Faner »

Mialem pewien uklad i policzylem jego wyznaczniku ktore prezentuje sie nastepujaco
\(\displaystyle{ Wg = 0}\)
\(\displaystyle{ Wx = 0}\)
\(\displaystyle{ Wy = -3(k+1)(k-5)}\)
\(\displaystyle{ Wz = -(k+1)(k-5)}\)

i gdy \(\displaystyle{ k \neq -1 \wedge k \neq 5}\) to uklad jest sprzeczny
ale w przeciwnym wypadku jest nieoznaczony lub sprzeczny ( tak nam podali na wykladzie i na wikipedi tez tak jest, choc spotkalem sie ze wiekszosc uznaje ze jest nieoznaczony).
I teraz jak roztrzygnac dla jakiego k jest jaki ?
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: cosinus90 »

Chodzi o to, że układ jest nieoznaczony wtedy, gdy wyznacznik główny jest równy zeru oraz pozostałe wyznaczniki jednocześnie wynoszą 0. Jeśli choć jeden jest niezerowy, to układ jest sprzeczny. Dlatego ściślej jest zapisać
\(\displaystyle{ k = -1 \vee k = 5 \rightarrow}\) układ nieoznaczony.
Faner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 21 paź 2012, o 17:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: katowice
Podziękował: 27 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: Faner »

chodzi wlasnie o to ze jak glowny i pozostale sa rowne 0 to uklad jest albo nieoznaczony alo sprzeczny a nie tylko nieoznaczony.
bo co powiesz na taki uklad
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+b+c=1 \\ a+b+c=2 \\ a+b+c=3 \end{cases}}\)
wszystkie wyznaczniki rowne 0 a uklad sprzeczny
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: cosinus90 »

Dla mnie taki przykład to szukanie dziury w całym, bo ja dam układ

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+2y+0z=1 \\ 3x+3y+0z=10 \end{cases}}\)

I każę Ci korzystać z twierdzenia Kroneckera-Capellego, żeby go rozwiązać. Potem dorzucę sobie jeszcze czwartą zmienną mnożoną razy zero, itd. Ogólnie układ który dałeś na starcie jest sprzeczny, bo porównując pierwsze 2 równania stronami wychodzi \(\displaystyle{ 1 = 2}\) i nie ma mowy o liczeniu jakichkolwiek wyznaczników.
Ale niech ktoś bardziej biegły w teorii ode mnie się wypowie, ja zawsze wolałem praktykę niż myślenie nad nieprzydatnymi niuansami.
Faner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 151
Rejestracja: 21 paź 2012, o 17:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: katowice
Podziękował: 27 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: Faner »

no tak, ale jak w ukladzie jest parametr ? Tez wole normalnie to liczyc, ale wymagaja tego u mnie na kolokwium i nie chce tracic bez sensu punktow
Awatar użytkownika
cosinus90
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5030
Rejestracja: 18 cze 2010, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 777 razy

uklad rownan z parametrem

Post autor: cosinus90 »

Zadania z parametrem liczyłem zawsze w sposób, o jakim powiedziałem, i nigdy mi nikt nie odjął punktów. Rzecz jasna układy równań nie były jakieś niekonwencjonalne.
Oczywiście w przypadku, gdy wszystkie wyznaczniki się zerują, możesz rozważać każde rozwiązanie oddzielnie. Wówczas sprawdzisz z całkowitą pewnością, czy układ jest ostatecznie nieoznaczony, czy sprzeczny.
ODPOWIEDZ