Witam,
jak obliczyć wyznacznik takiej "nieskończonej"(?) macierzy?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&3&0&...&0\\2&5&3&...&0\\ 0&2&5&...&0\\...&...&...&...&3\\0&0&0&...&5 \end{bmatrix}}\)
Pozdrawiam
Wyznacznik dziwnej macierzy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Wyznacznik dziwnej macierzy
Macierz jest jak najbardziej skończona - o wymiarach \(\displaystyle{ n\times n}\). Oznaczmy jej wyznacznik przez \(\displaystyle{ W_n}\). Oczywiście jest \(\displaystyle{ W_1=5, W_2=19}\). Jeśli natomiast użyjemy rozwinięcia Laplace'a względem pierwszej kolumny, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ W_n=5W_{n-1} - 6W_{n-2}}\)
(dlaczego?)
Mamy więc liniowe równanie rekurencyjne, na rozwiązanie którego jest mnóstwo metod (najprostsza: równanie charakterystyczne). Odpowiedź to \(\displaystyle{ W_n=3^{n+1}-2^{n+1}}\).
Q.
\(\displaystyle{ W_n=5W_{n-1} - 6W_{n-2}}\)
(dlaczego?)
Mamy więc liniowe równanie rekurencyjne, na rozwiązanie którego jest mnóstwo metod (najprostsza: równanie charakterystyczne). Odpowiedź to \(\displaystyle{ W_n=3^{n+1}-2^{n+1}}\).
Q.