Znaleźć bazę jądra i obrazu przekształcenia, weryfikacja

[MISJ]

Znaleźć bazę i wymiar obrazu oraz bazę i wymiar jądra

a)\(\displaystyle{ \varphi:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2},\,\,\varphi((x_{1},x_{2},x_{3}))=(2x_{1}+x_{2}-3x_{3},x_{1}+4x_{2}+2x_{3})}}\)


\(\displaystyle{ ker\,\varphi=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}|2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0,\, x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=0
}}\)

Układ równań opisujący\(\displaystyle{ ker \varphi}\)
w postaci macierzy rozszeżonej

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}2 & 1 & -3 & 0\\
1 & 4 & 2 & 0
\end{matrix}\right] \sim\left[ \begin{matrix}0 & -7 & -7 & 0\\
1 & 4 & 2 & 0
\end{matrix}\right] \sim\left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 & 0\\
1 & 4 & 2 & 0
\end{matrix}\right]}\)


Z twierdzenia Kroneckera Capelliego, dim ker \(\displaystyle{ \varphi}\)
= 3-2 = 1

dim im \(\displaystyle{ \varphi}\)
= dim V - dim ker \(\displaystyle{ \varphi}\)
= 2

Zbiór rozwiązań w postaci ogólnej

\(\displaystyle{ (12x_{3},2x_{3},x_{3})}\)


Stąd bazą ker\(\displaystyle{ \varphi}\)
jest lin (12, 2, 1)

\(\displaystyle{ M(\varphi)_{st}^{st}=\left[ \begin{matrix}2 & 1 & -3\\
1 & 4 & 2
\end{matrix}\right]}\)


\(\displaystyle{ (M(\varphi)_{st}^{st})^{T}=\left[ \begin{matrix}2 & 1\\
1 & 4\\
-3 & 2
\end{matrix}\right] \sim\left[ \begin{matrix}1 & 4\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{matrix}\right]}\)

Bazą obrazu przekształcenia \(\displaystyle{ \varphi}\)
jest (1, 4), (0, 1)

[timus221]

baza \(\displaystyle{ Ker=Lin(2,-1,1)}\) tak mi wyszło . Za parametr przyjąłem \(\displaystyle{ x _{3}}\)

[MISJ]

Czyli mam źle. Proszę, napisz, w którym miejscu popełniłem błąd, nie mogę go znaleźć mimo iż myślałem długo

[timus221]

a spróbuj \(\displaystyle{ ker\,\varphi=\{(x_{1},x_{2},x_{3})\in\mathbb{R}^{3}|2x_{1}+x_{2}-3x_{3}=0,\, x_{1}+4x_{2}+2x_{3}=0 }}\) rozwiazać ten układ równań bez żadnych macierzy ,tylko ,że za \(\displaystyle{ x _{3}}\) podstaw parametr na przykład \(\displaystyle{ ]x _{3}= \alpha}\)