W zbiorze macierzy rzeczywistych znaleźć wszystkie rozwiązania podanego równania:
\(\displaystyle{ X ^{2}=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
Będzie jeszcze jakieś rozwiązanie poza \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)?
Jak do niego dojść?
Równanie macierzowe
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Równanie macierzowe
Niech \(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
Stąd mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1. \ a^{2}+bc=0 \\ 2. \ ab+bd=0 \\ 3. \ ac+cd=0 \\ 4. \ bc+d^{2}=0 \end{cases}}\)
Odejmując pierwsze i czwarte równanie stronami dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^{2}-d^{2}=0}\)
Stąd 1* \(\displaystyle{ a=d}\) lub 2* \(\displaystyle{ a=-d}\).
Rozważmy najpierw pierwszy przypadek. Z drugiego i trzeciego równania mamy wtedy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2ab=0 \\ 2ac=0 \end{cases}}\)
Stąd 1** \(\displaystyle{ a=0}\) lub 2** \(\displaystyle{ b=c=0}\)
Weźmy najpierw 1**. Z pierwszego równania mamy wtedy \(\displaystyle{ bc=0}\) (więc \(\displaystyle{ b=0}\) lub \(\displaystyle{ c=0}\)), a stąd, z czwartego, że \(\displaystyle{ d=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to widać, że niezależnie jakie będzie \(\displaystyle{ c}\), układ będzie spełniony. Podobnie jeśli \(\displaystyle{ c=0}\) - wtedy \(\displaystyle{ b}\) może być dowolne.
Teraz 2**. Wtedy z pierwszego i czwartego równania mamy, że \(\displaystyle{ a=d=0}\).
Rozważmy teraz drugi przypadek, tzn. \(\displaystyle{ a=-d}\). Wtedy drugie i trzecie równanie są tożsamościowo spełnione. Z pierwszego możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ a^{2}=-bc}\). Jeśli któraś z liczb w tym równaniu jest zerem, to dostajemy rozwiązanie z poprzedniego przypadku. Załóżmy więc, że żadna nie jest, więc obie strony są dodatnie. Wtedy \(\displaystyle{ c=- \frac{a^{2}}{b}}\).
Ostatecznie dostajemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&b\\0&0\end{bmatrix}, \quad b\in \mathbb{R}}\)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&0\\c&0\end{bmatrix}, \quad c\in \mathbb{R}}\)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix},}\) (szczególny przypadek poprzednich rozwiązań)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a&b\\ -\frac{a^{2}}{b} &-a\end{bmatrix}, \quad a\neq 0, \ b \neq 0}\)
Uff, mam nadzieję, ze niczego nie pominąłem
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix}}\)
Stąd mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}1. \ a^{2}+bc=0 \\ 2. \ ab+bd=0 \\ 3. \ ac+cd=0 \\ 4. \ bc+d^{2}=0 \end{cases}}\)
Odejmując pierwsze i czwarte równanie stronami dostaniemy:
\(\displaystyle{ a^{2}-d^{2}=0}\)
Stąd 1* \(\displaystyle{ a=d}\) lub 2* \(\displaystyle{ a=-d}\).
Rozważmy najpierw pierwszy przypadek. Z drugiego i trzeciego równania mamy wtedy, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2ab=0 \\ 2ac=0 \end{cases}}\)
Stąd 1** \(\displaystyle{ a=0}\) lub 2** \(\displaystyle{ b=c=0}\)
Weźmy najpierw 1**. Z pierwszego równania mamy wtedy \(\displaystyle{ bc=0}\) (więc \(\displaystyle{ b=0}\) lub \(\displaystyle{ c=0}\)), a stąd, z czwartego, że \(\displaystyle{ d=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ b=0}\), to widać, że niezależnie jakie będzie \(\displaystyle{ c}\), układ będzie spełniony. Podobnie jeśli \(\displaystyle{ c=0}\) - wtedy \(\displaystyle{ b}\) może być dowolne.
Teraz 2**. Wtedy z pierwszego i czwartego równania mamy, że \(\displaystyle{ a=d=0}\).
Rozważmy teraz drugi przypadek, tzn. \(\displaystyle{ a=-d}\). Wtedy drugie i trzecie równanie są tożsamościowo spełnione. Z pierwszego możemy wyznaczyć \(\displaystyle{ a^{2}=-bc}\). Jeśli któraś z liczb w tym równaniu jest zerem, to dostajemy rozwiązanie z poprzedniego przypadku. Załóżmy więc, że żadna nie jest, więc obie strony są dodatnie. Wtedy \(\displaystyle{ c=- \frac{a^{2}}{b}}\).
Ostatecznie dostajemy rozwiązania:
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&b\\0&0\end{bmatrix}, \quad b\in \mathbb{R}}\)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&0\\c&0\end{bmatrix}, \quad c\in \mathbb{R}}\)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} 0&0\\0&0\end{bmatrix},}\) (szczególny przypadek poprzednich rozwiązań)
LUB
\(\displaystyle{ X=\begin{bmatrix} a&b\\ -\frac{a^{2}}{b} &-a\end{bmatrix}, \quad a\neq 0, \ b \neq 0}\)
Uff, mam nadzieję, ze niczego nie pominąłem