Czy jest podprzestrzenią liniową

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
karavan12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan*
Podziękował: 6 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: karavan12 »

Witam,
Czy \(\displaystyle{ U, W}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ V = R^3}\)

\(\displaystyle{ U = \left\{ (x,y,z) \in R^3 : x + 4y = 0 \wedge 3x - z = 0\right\}}\)
\(\displaystyle{ W = \left\{ (x,y,z) \in R^3 : x + 4y = 0 \vee 3x - z = 0\right\}}\)

do W, myślę, że przez kontrprzykład można pokazać, że nie jest podprzestrzenią
\(\displaystyle{ (1, \frac{-1}{4},1) , (1, 1,3) \in W}\) , ale już suma tych wektorów (nie należy) \(\displaystyle{ !\in W}\) , więc nie jest podprzestrzenią liniową

Ale co do U, to jedynie co przychodzi mi do głowy to
z def. \(\displaystyle{ \vec{a} = (x _{1}, y _{1}, z _{1}), \vec{b} = (x _{2}, y _{2}, z _{2}) \in U}\)

\(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \vec{b} = ( \alpha x _{1} + x_{2}, \alpha y _{1}+ y_{2}, \alpha z _{1}+ z_{2})}\)

Ale co dalej lub inaczej można by zrobić
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: kamil13151 »

Tylko, że \(\displaystyle{ (1,1,3) \not \in W}\).

\(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ W}\) podałeś takie same.
karavan12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan*
Podziękował: 6 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: karavan12 »

dlaczego \(\displaystyle{ (1,1,3) \not \in W}\), spełnia przecież \(\displaystyle{ 3x - z = 0}\) (spójnik jest lub)??

U i W są różne, \(\displaystyle{ U}\) posiada spójnik \(\displaystyle{ \wedge}\), natomiast \(\displaystyle{ W}\) ma \(\displaystyle{ \vee}\)
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: kamil13151 »

Faktycznie, nie spojrzałem na spójniki Co do \(\displaystyle{ U}\) to wyznacz na początku rozwiązanie ogólne układu równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} x+4y=0 \\ 3x-z=0 \end{cases}}\).
karavan12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan*
Podziękował: 6 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: karavan12 »

Rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ x = -4y}\) oraz \(\displaystyle{ z = -12y}\)

Czyli wektor \(\displaystyle{ \vec{a} = (x _{1}, y _{1}, z _{1})}\) przyjmie postać \(\displaystyle{ \vec{a} = (-4y _{1}, y _{1}, -12y _{1})}\) i domniemam, że należy to dalej pociągnąć z def. jak w pierwszym poście: \(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \vec{b}}\), a potem podstawiając współrzędne do zmiennych \(\displaystyle{ x + 4y = 0}\) i \(\displaystyle{ 3x - z = 0}\) sprawdzić czy się równania "zerują", a że się zerują czyli \(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią liniową. Dobrze rozumiem?
kamil13151
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5018
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: kamil13151 »

Wybieramy dwa dowolne wektory i dowolny skalar. Niech \(\displaystyle{ \vec{a} = \left( -4a, a, -12a \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \vec{b} = \left( -4b, b, -12b \right)}\), teraz wystarczy sprawdzić czy wektor \(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \vec{b}}\) spełnia dany układ, czyli podstawić \(\displaystyle{ \left( -4 \alpha a -4b, \alpha a+b, -12 \alpha a -12b \right)}\).
karavan12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 29 gru 2012, o 23:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznan*
Podziękował: 6 razy

Czy jest podprzestrzenią liniową

Post autor: karavan12 »

No o to mi chodziło, dzięki za wytłumaczenie
ODPOWIEDZ