Wykaż (przestrzeń wektorowa)

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 14:58

W przestrzeni \(\displaystyle{ {\mathbb {R}}^n}\)są dane trzy wektory u,v,w. Niech u'=v-w, v'=w-u, w=u+v.
1) Wykazać, że podprzestrzenie liniowe generowane przez wektory u,v,w i u',v',w' są identyczne.
2) Wykazać, że wektory u,v,w są liniowe niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy u',v',w' są liniowo niezależne.

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 15:20

Jaki problem się pojawia? Drugie to tylko zastosowanie definicji liniowo niezależnego układu wektorów.

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 15:24

nie potrafie tego zapisac...

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 15:27

No to zajmijmy się najpierw podpunktem drugim. Definicję układu liniowo niezależnego znasz?
Załóż najpierw, że wektory \(\displaystyle{ u,v,w}\) są liniowo niezależne i pokaż niezależność wektorów \(\displaystyle{ u',v',w'}\).

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 17:20

znam ale pomimo wszystko nie wiem jak ja to mam zapisywac.. :/

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 17:23

Skoro znasz, to zapisz założenia.

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 17:32

\(\displaystyle{ \vee \alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R} \\ \alpha u + \beta v + \gamma w = 0 \Rightarrow \alpha , \beta , \gamma = 0}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 17:36

Bez tej pierwszej linijki. Ok.
To są nasze założenia. Chcemy pokazać, że wektory \(\displaystyle{ u',v',w'}\) są liniowo niezależne. Czyli co chcemy pokazać?

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 17:39

Że ich kombinacja także jest o zerowych współczynnikach

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 17:41

Nie! Chcemy pokazać, że jeśli ich kombinacja liniowa daje wektor zerowy, to współczynniki są zerami. Zapisz to w analogiczny sposób jak w poprzednim Twoim poście.

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 17:43

Czyli zamiast u,v,w podstawiam u',v',w'?

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 17:48

Brawo. Możesz ewentualnie zmienić nazwy współczynników na \(\displaystyle{ a,b,c}\), żeby się nie plątało.

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 17:53

I co dalej? bo dalej nie wiem...

smigol · Post autor: **smigol** » 30 gru 2012, o 17:57

No to napisz co chcemy pokazać. Zamiast \(\displaystyle{ u'}\) co możemy podstawić?

Rosee1993 · Post autor: **Rosee1993** » 30 gru 2012, o 18:00

Te dane np u'=v-w, v'=w-u, w'=u+v...