Dowód na właściwości macierzy odwrotnych

[timus221]

Udowodnij ,że \(\displaystyle{ (A \cdot B) ^{-1}= A ^{-1} \cdot B^{-1}}\) . Proszę o pomoc ponieważ nie wiem jak to zapisać i ogólnie jak za to się zabrać. Próbowałem wyjść z tego ,że : \(\displaystyle{ A \cdot A^{-1}=I}\)

[Adifek]

Mamy, że \(\displaystyle{ A^{-1} \cdot A=A^{-1}\cdot \left( A^{-1}\right)^{-1}=I}\)

Stąd

\(\displaystyle{ (A\cdot B)\cdot (A\cdot B)^{-1}=I \\ \\
A^{-1} \cdot (A\cdot B)\cdot (A\cdot B)^{-1} =A^{-1} \\ \\
B\cdot (A\cdot B)^{-1} =A^{-1} \\ \\
B^{-1}\cdot B\cdot (A\cdot B)^{-1} =B^{-1}\cdot A^{-1} \\ \\
(A\cdot B)^{-1} =B^{-1}\cdot A^{-1}}\)