macierz odwrotna- dowód

Karolina93 · Post autor: **Karolina93** » 28 gru 2012, o 21:16

Pokazać, że macierz odwrotna jest określona jednoznacznie.

Jakieś wskazówki jak to pokazać ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 28 gru 2012, o 21:20

dowód przez zaprzeczenie

smigol · Post autor: **smigol** » 28 gru 2012, o 21:27

Można też skorzystać z tego, że macierz \(\displaystyle{ A\in M_{n \times n}(K)}\), gdzie \(\displaystyle{ K}\) jest ciałem, jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ \phi \in \mathcal{L}(K^n,K^n)}\) takie, że \(\displaystyle{ M(\phi)_{st}^{st}=A}\) jest izomorfizmem.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 28 gru 2012, o 21:33

Założmy, że \(\displaystyle{ A^{-1}=X}\) i \(\displaystyle{ B^{-1}=X}\). Mnożenie macierzy jest łączne, więc:

\(\displaystyle{ AXB=(AX)B=IB=B\\\\
AXB=A(XB)=AI=A}\)

czyli \(\displaystyle{ A=B}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 28 gru 2012, o 21:39

W kwestii zapisu tylko drobna uwaga.

octahedron pisze:
czyli \(\displaystyle{ A=B}\)

W sumie to na początku to założyliśmy, więc ciekawy wniosek to to nie jest

octahedron · Post autor: **octahedron** » 28 gru 2012, o 22:51

Fakt, lepiej to napisać na odwrót.