Wykaż ,że odwzorowanie jest liniowe

timus221 · Post autor: **timus221** » 28 gru 2012, o 12:28

Wykaż ,że odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest liniowe . Wyznacz przestrzenie\(\displaystyle{ KerT}\) oraz\(\displaystyle{ ImT}\) oraz ich wymiary jeśli \(\displaystyle{ T:R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\) dane jest wzorem \(\displaystyle{ T([x _{1},x _{2}])=[2x _{1} +x _{2} ,x _{1}-x _{2}]}\) .

Wiem ,że należałoby skorzytać z definicji. Czyli muszą zostać spełnione warunki dodawania wektorów i mnożenia przez skalar. Nie wiem jednak jak należy to zrobić,w treści zadania nie mam podanych konretnych wektorów , a czym są KerT oraz ImT to totalnie nie mam pojęcia. Proszę o pomoc.

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 28 gru 2012, o 15:27

Weź dowolne dwa wektory i sprawdź z definicji.

\(\displaystyle{ Ker}\) jądro przekształcenia
\(\displaystyle{ Im}\) obraz przekształcenia

timus221 · Post autor: **timus221** » 28 gru 2012, o 15:44

Ok z wektorami i sprawdzeniem definicji sobie poradziłem , a jak należy wyznaczyć te przestrzenie KerT oraz ImT ?

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 28 gru 2012, o 16:21

Jądro to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ x \in \RR^2 : f(x)=0 \right\}}\) czyli wszystko co przechodzi na wektor zerowy.

timus221 · Post autor: **timus221** » 29 gru 2012, o 10:50

w jaki sposób to zbadać ? Znalazłem jedną metodę https://www.matematyka.pl/11182.htm ,czy tylko tak da się to zrobić? Bo szczerze mówiąc to pierwszy raz widzę coś takiego.

Vardamir · Post autor: **Vardamir** » 29 gru 2012, o 12:35

Rozwiązać:
\(\displaystyle{ T([x _{1},x _{2}])=[0,0]}\)

timus221 · Post autor: **timus221** » 29 gru 2012, o 12:43

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=0\\x_{1}-x{2}=0\end{cases}}\) Po obliczeniach \(\displaystyle{ x_{1}=0,x_{2}=0}\) czyli wektor \(\displaystyle{ (0,0)}\)