Czy podprzestrzenie generowane są równe?

[lavsprat]

Czy w \(\displaystyle{ R^{3}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ W_{1}= W_{2}}\) ?

a)
\(\displaystyle{ W_{1}= L([1, 3, 4], [9, 6, 1])}\)
\(\displaystyle{ W_{2}= L([5, 3, 0], [7, 6, 3])}\)

b)
\(\displaystyle{ W_{1}= L([1, 1, 3], [2, 5, 0])}\)
\(\displaystyle{ W_{2}= L([1, 2, 1], [1, 0, 5], [2, 1, 8])}\)

Robię i robię ale chyba nie tym sposobem bo do niczego to nie prowadzi....
Rozumiem, że podprzestrzenie opisane danymi wektorami będą równe jeżeli owe wektory generują takie same wektory, prawda?

Wydaje mi się, że w b) taka równość zajdzie... Tak czy inaczej proszę o jakąś pomoc (jak coś takiego rozwiązujemy chociażby)

[lavsprat]

Bump. Ktoś mnie poratuje?-- 7 sty 2013, o 23:11 --Anyone?

[octahedron]

\(\displaystyle{ a)\\\\
\begin{vmatrix}1&3&4\\9&6&1\\5&3&0\end{vmatrix}\quad w_1-w_3,\,w_2-2w_3\\\\
\begin{vmatrix}-4&0&4\\-1&0&1\\5&3&0\end{vmatrix}}\)

wektory są liniowo zależne, czyli \(\displaystyle{ [5,3,0]\in W_1}\)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}1&3&4\\9&6&1\\7&6&3\end{vmatrix}\quad w_2-w_3\\\\
\begin{vmatrix}1&3&4\\2&0&-2\\7&6&3\end{vmatrix}\quad w_3-2w_1\\\\
\begin{vmatrix}1&3&4\\2&0&-2\\5&0&-5\end{vmatrix}}\)

i też liniowa zależność, więc \(\displaystyle{ [7,6,3]\in W_1}\), a stąd wynika \(\displaystyle{ W_1=W_2}\)

\(\displaystyle{ b)\\\\
\begin{vmatrix}1&2&1\\1&0&5\\2&1&8\end{vmatrix}\quad w_3-2w_2,\,w_1-w_2\\\\
\begin{vmatrix}0&2&-4\\1&0&5\\0&1&-2\end{vmatrix}}\)

wektory są zależne, więc \(\displaystyle{ W_2=L([1,2,1],[1,0,5])}\), no i dalej jak wyżej.