Układ wektorów liniowo niezależnych w nieskończoności

[timus221]

Podaj układ wektorów liniowo niezależnych w \(\displaystyle{ R ^{ \infty }}\). Takie zadanie dostałem od profesora i nie potrafię rozwiązać tego problemu . Znalazłem następującą podpowiedź: Nieskończony układ wektorów jest liniowo niezależny jeśli każdy skończony jego podzbiór
jest liniowo niezależny. Nie wiem jak za to się zabrać.Proszę o pomoc.

[lukasz1804]

Przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in\NN}\) takim układem jest \(\displaystyle{ (1,0,0,\ldots,0),(0,1,0,\ldots,0),(0,0,1,\ldots,0),\ldots,(0,0,\ldots,1,0),(0,0,\ldots,0,1)}\).

Można się zatem spodziewać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{\infty}}\) jednym z takich układów jest ten, w którym każdy \(\displaystyle{ k}\)-ty wektor posiada jedynkę na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu, a pozostałe współrzędne są równe zeru.

[timus221]

Czyli wystarczy podać taki układ wektorów , który będzie prawdziwy w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{k}}\)?

[lukasz1804]

Nie, to jest tylko podobny układ, ale nie taki sam.