Promień spektralny macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
rangunim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 gru 2012, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: rangunim »

Witam,

Na uczelni otrzymałem zadanie komputerowe z promieniem spektralnym macierzy. Niestety na wykładach nic o tym nie mówili, a w internecie ciężko mi to zrozumieć.
Prosiłbym o pomoc by pokazać mi w praktyce jak rozwiązuje się z tym zadania i "załapał" o co z tym biega. Moje polecenie brzmi: Oblicz promień spektralny macierzy A.

PS: Jak narazie zrozumiałem ( chyba dobrze) tyle:
Niech A to macierz o wymiarach n x n
Wówczas wartość własną macierzy liczymy ze wzoru: \(\displaystyle{ A_{\lambda}}\) =A- λI, następnie liczę wyznacznik z \(\displaystyle{ A_{\lambda}}\) i następnie ten wyznacznik przyrównuje do zera i liczę jego pierwiastki. I te pierwiastki to wartości własne macierzy A.

I teraz jak w to "włożyć" promień spektralny macierzy.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: Zordon »

Promień spektralny to maksymalna wartość modułu zespolonej wartości własnej.
rangunim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 gru 2012, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: rangunim »

A mógłbyś pokazać to na jakimś przykładzie? Chciałbym się upewnić czy dobrze zrozumiałem.

EDIT: Jak narazie zrozumiałem to tak: mamy pierwiastki x=-5+i,y=-5-i,z=5.
Promień spektralny macierzy to największa z liczb |x| lub |y| lub |z| ? Czyli w tym przypadku promieniem będzie |x| i |y| ?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: Zordon »

promień spektralny to \(\displaystyle{ \sqrt{26}}\)
rangunim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 gru 2012, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: rangunim »

No fakt .

Ale ogólnie promień spektralny to zawsze największa wartość modułu z pierwiastków wartości własnej macierzy, tak ?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: Zordon »

Co to znaczy ogólnie? W przypadku zwykłych macierzy zespolonych do tego się to właśnie sprowadza, natomiast promień spektralny rozważa się dla operatorów na przestrzeni Banacha, tam jest trochę ciężej.
rangunim
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 24 gru 2012, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Promień spektralny macierzy

Post autor: rangunim »

ok, dzięki za pomoc .
ODPOWIEDZ