tw. Cayleya Hamiltona

[Ser Cubus]

Hej, mam problem z tym zadaniem

Jeżeli\(\displaystyle{ \mathbf{A}}\) jest macierzą kwadratową i \(\displaystyle{ \varphi(\lambda)}\)jest jej wielomianem charakterystycznym, to\(\displaystyle{ \varphi(\mathbf{A})}\) jest macierzą zerową, czyli\(\displaystyle{ \varphi(\mathbf{A})=\mathbf{0}.}\)

Zadanie
Na podstawie twierdzenia Cayleya-Hamiltona dla macierzy, wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbf{A}^{-1}}\)

jak to ugryść?
nie wiem w ogóle od czego zacząć,
czym jest \(\displaystyle{ \varphi}\)? i co mam zrobić, chodzi mi o wytłumaczenie, dlatego też nie podałem tutaj konkretnego przykładu

postępowałęm wg. tego schematu
... -Hamiltona

i obliczyłem to równanie z lamdą, ale nie mam pojęcia jak tego użyć

ps. Wesołych świąt

[Spektralny]

Załóżmy, że wielomian charakterystyczny jest postaci

\(\displaystyle{ \varphi(x)=a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0}\)

przy czym \(\displaystyle{ a_0\neq 0}\). Wówczas

\(\displaystyle{ a_n A^n + \ldots + a_1 A + a_0I = 0}\)

skąd

\(\displaystyle{ I =- \tfrac{1}{a_0}(a_n A^{n-1} + \ldots +a_1 I)A}\).

Ostatecznie,

\(\displaystyle{ A^{-1} =- \tfrac{1}{a_0}(a_n A^{n-1} + \ldots +a_1 I)}\).

[Ser Cubus]

Pod koniec pomnozyles obie strony przez A do -1?

[Spektralny]

Zauważyłem, że ta macierz jest takiej postaci.

[Ser Cubus]

hmm, mógłbyś to uzasadnić?

i czy przemnożenie przez\(\displaystyle{ A^{-1}}\) jest blędem?

[Zordon]

Ale trzeba najpierw uzasadnić, że \(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje, co jest akurat równoważne faktowi, że \(\displaystyle{ a_0}\) jest odwracalny. Nie mniej jednak bez tego komentarza jest to błąd.

[Ser Cubus]

czyli sam komentarz o \(\displaystyle{ a_0}\) wystarczy?

[Zordon]

Wystarczy do czego?

[Ser Cubus]

macierz\(\displaystyle{ A^{-1}}\) istnieje, gdy\(\displaystyle{ A_0}\)w podanej formie jest \(\displaystyle{ \neq 0}\) lub gdy \(\displaystyle{ det A \neq 0}\)

mam rację?

[Zordon]

Dokładnie tak.
\(\displaystyle{ |det(A)|=|a_0|}\)