zawężenie odwzorowania liniowego

[JakubCh]

Mam pokazać, że

"Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem generującym przestrzeń \(\displaystyle{ V}\) i odwzorowania \(\displaystyle{ f,h: V \rightarrow W}\) będą liniowe. Jeśli \(\displaystyle{ f|A = h|A}\), to \(\displaystyle{ f=h}\) ."

Nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ A}\) musi być zbiorem generującym przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), nie wystarczy, że byłaby to podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\)?

[Spektralny]

Nie rozumiem, dlaczego \(\displaystyle{ A}\) musi być zbiorem generującym przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), nie wystarczy, że byłaby to podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\)?

Nie, zacieśnienia dowolnych odwzorowań liniowych do podprzestrzeni \(\displaystyle{ \{0\}}\) są równe.

[JakubCh]

ok, ale dlaczego do zbioru generującego, jest tylko jedno?

[Spektralny]

Załóżmy, że odwzorowania liniowe \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ S}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) są równe na zbiorze generującym \(\displaystyle{ H}\). Ustalmy \(\displaystyle{ x\in X}\). Wówczas \(\displaystyle{ x = \sum_{k=1}^n a_k h_k}\) dla pewnych skalarów \(\displaystyle{ a_k}\) oraz \(\displaystyle{ h_k\in H}\).

\(\displaystyle{ Tx = \sum_{k=1}^n a_k Th_k= \sum_{k=1}^n a_k Sh_k=Sx.}\)

[JakubCh]

dzięki;)