Wyznacz bazę.

[nowik1991]

Znajdź bazę następującej podprzestrzeni liniowej \(\displaystyle{ W = \{[x, y, z]^T : 4x - y + 2z = 0\}}\)
przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\).

\(\displaystyle{ 4x - y + 2z = 0}\)

\(\displaystyle{ - y = -4x-2z}\)

\(\displaystyle{ y = 4x+2z}\)

Zatem dowolny punkt \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) można zapisać jako: \(\displaystyle{ (x,4x+2z,z)}\)

Zatem będziemy mieć 2 wektory

1) \(\displaystyle{ x(1,4,0)}\)
2) \(\displaystyle{ y(0,2,1)}\)

Teraz sprawdźmy czy są liniowo niezależne:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&4&0\\0&2&1\end{array}\right]}\)

Wyciągamy największą macierz w tym przypadku \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) i liczmy wyznacznik.

Zatem \(\displaystyle{ det \left[\begin{array}{cc}1&4\\0&2\end{array}\right] = 2-0 = 2}\)
Więc są liniowo niezależne i bazę tworzą wektory:\(\displaystyle{ (1,4,0)}\) oraz \(\displaystyle{ (0,2,1)}\)

Proszę o sprawdzenie.

[lukasz1804]

Rozwiązanie poprawne.