Oblicz pole równoległoboku

[diego_maradona]

\(\displaystyle{ A(0,0,1) B(1,0,0) C(1,2,1) D(0,1,2)}\)

Podać ogólny wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach AB i AC a następnie obliczyć je.

[Pancernik]

Dane:
\(\displaystyle{ A=\left(0,0,1\right)\\
B=\left(1,0,0\right)\\
C=\left(1,2,1\right)\\
D=\left(0,1,2\right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między wektorami

Wzory:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\vec{AB}\circ\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\right|\cdot\left|\vec{AC}\right|}\\
P=\left|\vec{AB}\right|\cdot\left|\vec{AC}\right|\cdot\sin\alpha}\)

Obliczenia:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=B-A=\left[1,0,-1\right]\\
\vec{AC}=C-A=\left[1,2,0\right]\\
\left|\vec{AB}\right|=\sqrt{1^2+0^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{2}\\
\left|\vec{AC}\right|=\sqrt{1^2+2^2+0^2}=\sqrt{5}\\
\vec{AB}\circ\vec{AC}=1\cdot 1+0\cdot 2-1\cdot 0=1\\
\cos\alpha=\frac{\vec{AB}\circ\vec{AC}}{\left|\vec{AB}\right|\cdot\left|\vec{AC}\right|}=
\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}\\
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\
\sin^2\alpha=1-\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\\
\sin\alpha=\frac{3\sqrt{10}}{10}\\
P=\left|\vec{AB}\right|\cdot\left|\vec{AC}\right|\cdot\sin\alpha=\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}\cdot\frac{3\sqrt{10}}{10}=3}\)