Sprawdź czy są liniowo niezależne.

[nowik1991]

Zbadaj liniowa niezaleznosc nastepujacych układów wektorów:
(a) \(\displaystyle{ [1,−2, 3]^T , [1, 0, 1]^T , [0, 2, 1]^T}\) z przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R^3}\)
(b) wektory \(\displaystyle{ x^3 + x^2 + x - 1, x^3 + x^2 - x -1, x^3 - x^2 - x - 1, x^3 + x^2 + x + 1}\)z
przestrzeni liniowej wielomianów rzeczywistych stopnia \(\displaystyle{ \le 3}\).

a)

Robimy macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-2&3\\1&0&1\\0&2&1\end{array}\right]}\)

Obliczyłem wyznacznik metodą sarrusa i wyszedł on różny od 0. Zatem wiemy już, że \(\displaystyle{ rz(A)=3}\) skoro tyle jest równy rząd to tyle mamy tam wektorów liniowo niezależnych a skoro wszystkie są liniowo niezależne to jest OK.

b)

Tworzymy macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&-1&1\\1&-1&-1&1\\-1&-1&-1&1 \end{array}\right]}\)

Teraz robimy operacje elementarne na kolumnach a mianowicie \(\displaystyle{ w_{4}+w_{3}}\) i powstaje:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\1&1&-1&0\\1&-1&-1&0\\-1&-1&-1&0 \end{array}\right]}\)

Teraz robimy metodę Laplace'a względem kolumny nr 4:

\(\displaystyle{ det(A) = 2 \cdot (-1)^5 \cdot det \left[\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&-1&-1\\-1&-1&-1 \end{array}\right] = -2 \cdot 6 = -12}\)

Zatem wszystkie wektory są liniowo niezależne.

Proszę o sprawdzenie i skorygowanie błędów.

Pozdrawiam

[Rogal]

Wygląda dobrze.
Zamiast jednak liczyć wyznacznika (co dla dużych układów zależnych liniowo jest wredne, bo i tak nic nie daje), to lepiej jest liczyć rząd przy pomocy operacji elementarnych (choćby algorytm schodkowy Gaussa daje radę).