Konstrukcja przykładowych odwzorowań

[patlas]

Witam,
w jaki sposób skonstruować odwzorowanie liniowe wiedząc, że:
\(\displaystyle{ Kerf = lin\{(1,1,0), (-1,1,0)\} \ \ \wedge \ \ Imf = lin \{(2,1,1)\}}\)
?

P.S Istnieje może jakiś schemat rozwiązywania zadań tego typu?

[Rogal]

Wypadałoby jednak podać dziedzinę i przeciwdziedzinę f.
Z grubsza istnieje - korzystasz z informacji o jądrze i o obrazie, otrzymując macierz tego odwzorowania.

[patlas]

Niestety jedyne informacje jakie dostałem w zadaniu to te które są w treści pierwszego postu
Mógłbyś mi trochę nakreślić jak to jest z tymi macierzami odwzorowania, bo od rana próbuje się czegoś o tym nauczyć ale totalnie nic nie mogę zrozumieć z tego działu

[Rogal]

Patrząc na dane możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}}\).
Żeby podać postać odwzorowania, trzeba wiedzieć w jakich bazach się działa. Ponieważ nie ma nic podanego, to zakładamy, że mamy bazy kanoniczne. Odwzorowanie liniowe ma tę cudowną własność, że wystarczy podać jego wartości na bazie.
Musisz więc znaleźć, ile wynosi \(\displaystyle{ f(e_{1}), f(e_{2}), f(e_{3})}\).
Skorzystać oczywiście musisz z tego, co Ci podali, czyli:
\(\displaystyle{ (1, 1, 0) \in Ker f \Leftrightarrow f(1, 1, 0) = 0 \Leftrightarrow f(e_{1}) + f(e_{2}) = 0 \\
(-1, 1, 0) \in Ker f \Leftrightarrow f(-1, 1, 0) = 0 \Leftrightarrow -f(e_{1}) + f(e_{2}) = 0}\)
Rozwiązaniem tego układu równań jest: \(\displaystyle{ f(e_{1}) = f(e_{2}) = 0}\)
Czyli masz dwie pierwsze kolumny macierzy. Teraz, aby obraz odwzorowania był taki jak podany w zadaniu, to na trzecim wektorze bazowym musisz otrzymać wektor generujący obraz, czyli \(\displaystyle{ f(e_{3}) = (2, 1, 1)}\).