Rząd odwzorowania liniowego w zależności od parametru

[patlas]

Witam,
czy mógłby ktoś sprawdzić czy poprawnie rozwiązałem poniższe zadanie (jak w temacie):
\(\displaystyle{ g:R ^3 \rightarrow R ^3
\\

\\
g (x,y,z) = \left( (m-2)x+2y-z,2x+my+2z,2mx+2(m+1)y+(m+1)z\right), m\in R
\\

Im g = lin\{(m-2,2,2m), (2,m,2(m+1)), (-1,2,m+1)\}
\\

\begin{vmatrix} m-2&2&2m\\2&m&2(m+1)\\-1&2&m+1\end{vmatrix} = 2m^2(m-2)}\)

I dalej nie jestem pewny bo dla \(\displaystyle{ m\in\{0,2\}}\) wyznacznik jest równy zero czyli wektory są liniowo zależne więc tylko jeden (dowolny) z nich jest liniowo niezależny ze sobą czyli \(\displaystyle{ dim(Img) = 1 \Rightarrow rz(g)=1}\) (tak?)
Z kolei dla wszystkich innych liczb \(\displaystyle{ dim(Img) = \Rightarrow rz(g) = 3}\) (tak?)

[Rogal]

Dla wszystkich innych istotnie, rząd jest 3. Natomiast dla tych dwóch m musisz wstawić ich wartości i sprawdzić ręcznie, co się dzieje. Nie możesz ot tak sobie wymyślić, że rząd będzie 1, bo przecież może być 2.

[patlas]

Czyli teraz wystarczy (w sumie od razu) widać że dla podstawionych wartości będziemy mieć jeden minor przynajmniej stopnia 2
Dziękuje za pomoc